Доказать расходимость несобственного интеграла

[artempalkin]

Padawan в сообщении #1551663 писал(а):

Если Вы имеете ввиду несобственный интеграл Римана, то не существует, так как в любой окрестности нуля бесконечно много точек, в окрестности которых функция неограничена.

Верно подмечено!
А если интеграл Лебега, тогда как тут быть?

[ElRomcho]

Padawan в сообщении #1551663 писал(а):

то не существует, так как в любой окрестности нуля бесконечно много точек, в окрестности которых функция неограничена.

Я не совсем понимаю: почему из бесконечности количества точек в любой окрестности нуля, в которых функция неограниченна, следует расходимость интеграла?

[thething]

ElRomcho
Тут говорят не о сходимости/расходимости, а о том, что в случае неизолированной особенности несобственный интеграл Римана не определяется (он даже вроде для бесконечного числа изолированных особенностей не определяется по классике). Т.е. с классической точки зрения условие задачи некорректно. Я бы поставил на то, что, раз такая задача возникла, то от Вас хотят, чтобы вы что-то посчитали и, возможно, имеют ввиду какое-нибудь доопределение интеграла для такого случая. Например, как предел при $\varepsilon\to0$ несобственных интегралов по промежуткам $[\varepsilon,+\infty)$. Сходимость в таком случае означала бы существование всех интегралов по таким промежуткам и существование предела от них. Но как раз интегралы по любому такому промежутку уже классически расходятся, поэтому и сходимости в таком обобщённом смысле не будет. Но это всё домыслы, и как там у Вас на самом деле -- зависит от источника задачи.

[artempalkin]

thething в сообщении #1551711 писал(а):

Но это всё домыслы, и как там у Вас на самом деле -- зависит от источника задачи.

Я думаю, что если речь не о каком-то факультете прикладной математики, то это просто преподаватели проглядели

[ElRomcho]

artempalkin в сообщении #1551728 писал(а):

речь не о каком-то факультете прикладной математики

Как раз таки о нём - ВМК МГУ. Так что сложность задачи вполне сопоставима с уровнем факультета, но пока не совсем сопоставима с уровнем моих умений :(

-- 03.04.2022, 20:39 --

Я наконец-то пришёл к хоть какому-то решению: разложим знаменатель подынтегральной функции в ряд Тейлора в точке $a$, в которой знаменатель обращается в ноль (можно найти такую точку, в которой числитель в ноль не обращается):$ (x-\cos{\frac{\pi}{x}})^2 = (a-\cos{\frac{\pi}{a}})^2 + 2(x-a)(1-\frac{\pi \sin{(\pi/a)}}{a^2})(a-\cos{\frac{\pi}{a}})+\frac{1}{a^4} (x-a)^2 (a^4-\pi a\sin{\frac{2\pi}{a}+...}) + o((x-a)^3)
следовательно $ f(x) = O ((\frac{1}{x-a})^2) \implies$ в точке $a$ интеграл расходится $\implies$ расходится и на всём промежутке

[Otta]

ElRomcho в сообщении #1551745 писал(а):

Я наконец-то пришёл к хоть какому-то решению:

Вы сперва обоснуйте интегрируемость функции по Риману на любом отрезке вида $[\varepsilon, A]$, не содержащем ноль, как того требует определение. И увидите (возможно), что главная проблема, на которую Вам указали, прошла мимо Вас.

А можно первоисточник, пожалуйста? Куда смотреть?

[ElRomcho]

Otta в сообщении #1551746 писал(а):

интегрируемость функции по Риману на любом отрезке вида $[\varepsilon, A]$

Существуют же такие отрезки, на которых подынтегральная функция не интегрируема, напимер $[0.5, 1]$. Проблема, на которую Вы указываете - это бесконечное число точек, в которых функция не ограничена, в любой окрестности нуля?

А на счёт источника - это внутренние материалы семинариста, и я не уверен, что они есть в открытом доступе (или что их разрешено в открытый доступ загружать)

[Otta]

ElRomcho в сообщении #1551748 писал(а):

Существуют же такие отрезки, на которых подынтегральная функция не интегрируема, напимер $[0.5, 1]$.

Если бы таких отрезков вообще не существовало, интеграл (первого рода) был бы собственным. То, что там, среди отрезка, есть точки, где функция уходит в бесконечность, ничему не мешает, на то это и несобственный интеграл. Проблема не в этом. Проблема в том, что определение несобственного интеграла, пусть первого рода, нужно вспомнить полностью. Ну пусть это интеграл от нуля до единицы, с единственной особенностью в нуле. Что требуется от функции еще в определении?

ElRomcho в сообщении #1551748 писал(а):

А на счёт источника - это внутренние материалы семинариста, и я не уверен, что они есть в открытом доступе (или что их разрешено в открытый доступ загружать)

Ну, мне они не нужны. Как хотите.

[ElRomcho]

Otta в сообщении #1551755 писал(а):

Что требуется от функции еще в определении?

Локальная интегрируемость (по Риману).

Я, похоже, понял, о чём Вы: мы не можем утверждать, что функция локально интегрируема на промежутке $(0, a]$, где $a$ - любое, поэтому данный интеграл не соответствует определению несобственного (I-го или II-го рода), и мы не можем ничего утверждать про его сходимость\расходимость.

[Otta]

Ага, типа того.

[ElRomcho]

Всем спасибо за наводящие вопросы и подсказки! Они сильно помогли мне разобраться, и я определенно стал лучше понимать эту тему!