Доказать расходимость несобственного интеграла

[ElRomcho]

Здравствуйте! Я уже долго пытаюсь доказать расходимость несобственного интеграла:

$$\int_{0}^{+\infty} \frac {\sin(1/x)}{(x-\cos(\pi/x))^2}dx$$

В любой окрестности нуля подынтегральная функция неограничена и разрывна. Я пытался применить критерий Коши сходимости интегралов, признаки сравнения, оценить подынтегральную функцию, но все безрезультатно. У меня есть предположение, что надо рассмотреть функцию в наибольшей точке $x_{1}$, в которой $x = \cos(\pi/x)$ и оценить функцию какой-нибудь другой, интеграл от которой расходится. Я думаю, такая функция $1/(x-x_1)$, то есть сущестует проколотая окрестность $x_1$, такая что для всех $x$ из этой окрестности подынтегральная функция больше $1/(x-x_1)$. Но как это доказать?

[vpb]

ElRomcho в сообщении #1551590 писал(а):

Я думаю, такая функция 1/(x-x_1), то есть сущестует проколотая окрестность x_1, такая что для всех x из этой окрестности подынтегральная функция больше 1/(x-x_1)

В целом мысль правильная, но в этом конкретном утверждении содержится сразу три ляпсуса. Найдите самостоятельно хотя бы один из них...

-- 01.04.2022, 14:45 --

А насчет как доказать конкретно... Подумайте над более общим вопросом: чтобы интеграл вида $\int_A^B f(x)/g^2(x)\, dx$ расходился в любой окрестности некоторой точки $x_0\in(A,B)$, достаточно например того, ... чего ?

[ElRomcho]

vpb в сообщении #1551594 писал(а):

Найдите самостоятельно хотя бы один из них...

Вместо проколотой окрестности должна быть правая полуокрестность
Пропущенная буква в слове существует считается за ляпсус?

[thething]

ElRomcho
Если знаменатель обращается в нуль, то это будет нуль как минимум второго порядка. Дальше понятно?

[Pphantom]

ElRomcho, не забывайте формулы (и отдельные обозначения) долларами окружать. А вот тэг math при этом ставить не обязательно - сам проставится.

В первом сообщении темы я уже это исправил сам.

[artempalkin]

Я очень извиняюсь, а вы пробовали сделать замену $z=\frac 1x$? Мне кажется, это значительно упростит вид интеграла

[ElRomcho]

thething в сообщении #1551605 писал(а):

ElRomcho
Если знаменатель обращается в нуль, то это будет нуль как минимум второго порядка. Дальше понятно?

Если честно, то не очень . Откуда это следует?

-- 01.04.2022, 22:29 --

artempalkin в сообщении #1551617 писал(а):

Я очень извиняюсь, а вы пробовали сделать замену $z=\frac 1x$? Мне кажется, это значительно упростит вид интеграла

Да, я пытался сделать такую замену, но ничего путного не получил :(

[thething]

ElRomcho в сообщении #1551622 писал(а):

Откуда это следует?

Из определения порядка нуля.

ElRomcho в сообщении #1551622 писал(а):

Если честно, то не очень .

Что именно "не очень"? Непонятно, как использовать порядок нуля или что?

ElRomcho в сообщении #1551622 писал(а):

Да, я пытался сделать такую замену, но ничего путного не получил :(

Замена тут не особо поможет. Да, вид интеграла упростится, но ход рассуждений останется тот же самый. Главная идея -- с какой-то стороны от нуля знаменателя подынтегральная функция будет эквивалентна $\dfrac{C}{x-a}$ (это если вдруг чисто случайно нуль знаменателя совпадёт с нулём числителя, но в числителе это может быть нуль максимум первого порядка).

[ElRomcho]

thething в сообщении #1551640 писал(а):

Непонятно, как использовать порядок нуля или что?

Это непонятно, да. (Я правильно понимаю, что минимум второй порядок получается из-за того, что в знаменателе скобка в квадрате?).

thething в сообщении #1551640 писал(а):

с какой-то стороны от нуля знаменателя подынтегральная функция будет эквивалентна $\dfrac{C}{x-a}$

То есть мы говорим, что функция с какой-то стороны от нуля знаменателя будет эквивалентна $\frac {C}{(x-a)^{k}}, k \geq 1} $, и эти эквивалентности и следуют из того, что в знаменателе нуль как минимум второго порядка, а в числителе - первого?(Но по определению, функции эквиваленты в какой-то точке, если предел их отношения при аргументе, стремящемся к этой точке, равен единице, поэтому я пока не понимаю, как доказать эти эквивалентности)

[thething]

ElRomcho в сообщении #1551646 писал(а):

как доказать эти эквивалентности

Раскладывайте знаменатель (и числитель, если нуль общий) по формуле Тейлора в окрестности нуля (знаменателя и числителя). Оттуда и эквивалентности выдёргиваются.

ElRomcho в сообщении #1551646 писал(а):

Я правильно понимаю, что минимум второй порядок получается из-за того, что в знаменателе скобка в квадрате?

Не совсем. Всё-таки, почитайте хоть какое-то определение порядка нуля функции.

[Padawan]

В каком смысле понимается интеграл?

[ElRomcho]

Padawan в сообщении #1551654 писал(а):

В каком смысле понимается интеграл?

В обычном смысле.

[Padawan]

Интеграл Лебега?

[ElRomcho]

Padawan в сообщении #1551658 писал(а):

Интеграл Лебега?

Нет, Римана

[Padawan]

Если Вы имеете ввиду несобственный интеграл Римана, то не существует, так как в любой окрестности нуля бесконечно много точек, в окрестности которых функция неограничена.
Либо надо использовать интеграл Данжуа или что-то подобное.