Интуиционистская логика - фейк

Urrod · 31/03/22 7

Привет, существа.
Интуиционистская логика отличается от классической тем, что в ней утверждается о неприменимости классического закона исключенного третьего.
Это демонстрируется следующим примером:

Цитата:

Предположим, что мы хотим доказать теорему, что существуют иррациональные числа $a$ и $b$ такие, что $a^{b}$ рационально.

Известно и доказано, что ${\sqrt {2}}$ иррациональное число.
Рассмотрим число: ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$
Очевидно (исключая третий вариант), что это число либо рационально, либо иррационально.
1) Если данное число рационально, то теорема автоматически доказана. Искомые числа:
$a={\sqrt {2}}$ и $b={\sqrt {2}}$
2) Если число ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ является иррациональным, тогда пусть $a={\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ и $b={\sqrt {2}}$ .
Следовательно,
$a^{b}=\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}})$ $=$ ${\sqrt {2}}^{2}}=2$
Следовательно, $a^{b}$ — рациональное число.
По закону исключённого третьего иных вариантов быть не может. Поэтому теорема в общем случае доказана.

То есть,автор данного примера намекает на то, что закон исключенного третьего не работает, так как если его не нарушать и доказывать что-либо от обратного, то можно доказать даже то, что возможно не истинно.
В данном примере второе условное суждение вытекает из предполагаемой ложности первого.

Но я обнаружил здесь ошибку, которая заключается как раз в нарушении закона исключенного третьего. Следовательно, утверждение "Поэтому теорема в общем случае доказана." - ложно.
Обоснование: в первом условном суждении $a$ равно $b$ , а во втором условном суждении $a$ не равно $b$ . это противоречащие суждения. Выходит, что одновременно в синтезе двух условных суждений $a$ равно $b$ и не равно $b$ одновременно. Это грубое нарушение и закона исключенного третьего и закона противоречия. Следовательно, теорема не доказана, так как она должна быть доказана с соблюдением закона исключенного третьего.

Без нарушения закона исключенного третьего, приведенное в цитате доказательство выглядело бы так:
Предположим, что мы хотим доказать теорему, что существуют иррациональные числа $a$ и $b$ такие, что $a^{b}$ рационально.

Очевидно (исключая третий вариант), что $a$ либо равно $b$ либо не равно $b$

1) Если $a$ равно $b$
Известно и доказано, что ${\sqrt {2}}$ иррациональное число.
Рассмотрим число: ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$
Очевидно (исключая третий вариант), что это число либо рационально, либо иррационально.
а) Если данное число рационально, то теорема автоматически доказана. Искомые числа:
$a={\sqrt {2}}$ и $b={\sqrt {2}}$
б) Если число ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ является иррациональным, тогда пусть $a=b={\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$
Следовательно,
$${\displaystyle a^{b}=\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)$ $=$ ${\sqrt {2}}^{\left({\sqrt {2}}\cdot ({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}$$
Следовательно, неизвестно $a^{b}$ — рациональное или иррациональное число.

2) Если $a$ не равно $b$
Известно и доказано, что ${\sqrt {2}}$ иррациональное число.
Рассмотрим число: ${\sqrt {2}}^{\sqrt {x}}$ где x - любое число, не равное 2, при этом доказано, что ${\sqrt {x}}$ - иррациональное число
Очевидно (исключая третий вариант), что это число либо рационально, либо иррационально.
а) Если данное число рационально, то теорема автоматически доказана. Искомые числа:
$a={\sqrt {2}}$ и $b={\sqrt {x}}$ , где x не равен 2, при этом доказано, что ${\sqrt {x}}$ - иррациональное число
б) Если число ${\sqrt {2}}^{\sqrt {x}}$ является иррациональным, тогда пусть $a={\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {x}}}$ и $b={\sqrt {2}}$
Следовательно,
$${\displaystyle a^{b}=\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {x}}\right)^{\sqrt {2}}$ , где x не равен 2
Следовательно, неизвестно $a^{b}$ — рациональное или иррациональное число.

Вывод: при соблюдении всех непротиворечий следует, что данный пример не может демонстрировать недостаток закона исключенного третьего. Он демонстрирует лишь неправильное его применение, что является не свойством закона, а свойством человека, применяющего его. Человек - не закон. Закон - не человек. Подмена понятия, нарушение закона тождества.

Прямо на стриме это разобрал, вот короткая нарезка с этим обоснованием со стрима ссылка удалена
Приходите на стримы, доступ в дискорд всем открыт

Добавлю пример про двойное отрицание в интуиционизме (если я правильно его понимаю): если стена не белая и не не белая, это может означать, что стены не существует в действительности. Но это вопрос существования - не существования, а не цвета. Существование не есть цвет. Цвет не есть существование. Тоже подмена понятия, вследствие подмены рассматриваемого свойства. Со стеной так же как и в приведенном примере: Сначала делим существует или не существует, так как это свойство более существенно, а потом уже на следующем шагу определяем белая - не белая. Если стена не существует, значит неизвестно белая она или не белая. Но она может существовать в воображении субъективно и принимать любой цвет, а воображение - это свойство мозга, существующего в действительности.

kotenok gav · 21/05/16 4292 Аделаида

Теорема. Существуют нечётные числа $a$ и $b$ , такие что $a+b$ чётно.
Доказательство. Если $2$ чётно, то мы можем взять $a=b=1$ , так как $0\leq1\leq2$ , т.е. $1$ не может делиться на $2$ . Если $2$ нечётно, то $6$ чётно, поскольку делится на $2$ , а $4$ и $2$ нечётны, так как они являются нечётным числом и квадратом нечётного числа, т.е. мы можем взять $a=4\ne2=b$ .

Ну? И где ошибка?

-- 31 мар 2022, 15:32 --

Сразу говорю: цитирование абзаца

Urrod в сообщении #1551480 писал(а):

Обоснование: в первом условном суждении $a$ равно $b$ , а во втором условном суждении $a$ не равно $b$ . это противоречащие суждения. Выходит, что одновременно в синтезе двух условных суждений $a$ равно $b$ и не равно $b$ одновременно. Это грубое нарушение и закона исключенного третьего и закона противоречия.

- не ответ.

-- 31 мар 2022, 15:36 --

Или такая теорема, попроще:

Теорема. Для любого положительного числа $a$ существует такое число $b>1$ , что $a+b$ чётно.
Доказательство. Если $a$ чётно, мы можем взять $b=a$ . Если $a$ нечётно, мы можем взять $b=a+2\ne a$ .

Urrod · 31/03/22 7

kotenok gav в сообщении #1551481 писал(а):

:facepalm:

Теорема. Существуют нечётные числа $a$ и $b$ , такие что $a+b$ чётно.
Доказательство. Если $2$ чётно, то мы можем взять $a=b=1$ , так как $0\leq1\leq2$ , т.е. $1$ не может делиться на $2$ . Если $2$ нечётно, то $6$ чётно, поскольку делится на $2$ , а $4$ и $2$ нечётны, так как они являются нечётным числом и квадратом нечётного числа, т.е. мы можем взять $a=4\ne2=b$ .

Ну? И где ошибка?

-- 31 мар 2022, 15:32 --

Сразу говорю: цитирование абзаца

Urrod в сообщении #1551480 писал(а):

Обоснование: в первом условном суждении $a$ равно $b$ , а во втором условном суждении $a$ не равно $b$ . это противоречащие суждения. Выходит, что одновременно в синтезе двух условных суждений $a$ равно $b$ и не равно $b$ одновременно. Это грубое нарушение и закона исключенного третьего и закона противоречия.

- не ответ.

-- 31 мар 2022, 15:36 --

Или такая теорема, попроще:

Теорема. Для любого положительного числа $a$ существует такое число $b>1$ , что $a+b$ чётно.
Доказательство. Если $a$ чётно, мы можем взять $b=a$ . Если $a$ нечётно, мы можем взять $b=a+2\ne a$ .

1) При чем здесь эти теоремы? Я их ещё не разбирал, первый раз вижу и относительно них ничего не утверждал. Ты подменяешь тезис. Может быть в этих теоремах есть ошибка, может и нет... Попозже разберусь что это такое.
2) Если мы вернемся к моему первоначальному тезису, то твой ответ звучит так "не ответ". В твоём утверждении (или отрицании) нет смысла. Я указал на ошибку и обосновал её, в то время как ты этого не сделал. Твоя ошибка называется "голословное утверждение", то есть нарушение закона достаточного основания. С таким успехом я могу про всё что угодно утверждать или отрицать, например, что ты не существуешь.

kotenok gav · 21/05/16 4292 Аделаида

Ясно, намёк не понят.
Хорошо:

Urrod в сообщении #1551480 писал(а):

Выходит, что одновременно в синтезе двух условных суждений $a$ равно $b$ и не равно $b$ одновременно

Не выходит.

Urrod · 31/03/22 7

kotenok gav в сообщении #1551483 писал(а):

Ясно, намёк не понят.
Хорошо:

Urrod в сообщении #1551480 писал(а):

Выходит, что одновременно в синтезе двух условных суждений $a$ равно $b$ и не равно $b$ одновременно

Не выходит.

Почему не выходит?

kotenok gav · 21/05/16 4292 Аделаида

Это вы должны доказать, почему из того, что в двух заведомо противоречивых случаях выходят два противоречивых утверждения следует, что оба противоречивых утверждения верны. Подсказка: не следует.

Urrod · 31/03/22 7

kotenok gav в сообщении #1551485 писал(а):

Это вы должны доказать, почему из того, что в двух заведомо противоречивых случаях выходят два противоречивых утверждения следует, что оба противоречивых утверждения верны. Подсказка: не следует.

Я не утверждал, что оба противоречивых утверждения верны. Может я где то ошибся или не понятно объяснил?
Вы согласны с тем, что при учете закона исключенного третьего a либо равно b либо не равно b?

kotenok gav · 21/05/16 4292 Аделаида

Urrod в сообщении #1551486 писал(а):

Вы согласны с тем, что при учете закона исключенного третьего a либо равно b либо не равно b?

Я не согласен, что у нас есть какие-то конкретные $a$ и $b$ . $a$ и $b$ могут быть разными в разных случаях теоремы (и они и есть разные - $a,b=\sqrt2,\sqrt2$ в первом случае, $a,b=\sqrt2^{\sqrt2},\sqrt2$ во втором).

Urrod · 31/03/22 7

kotenok gav в сообщении #1551487 писал(а):

Urrod в сообщении #1551486 писал(а):

Вы согласны с тем, что при учете закона исключенного третьего a либо равно b либо не равно b?

Я не согласен, что у нас есть какие-то конкретные $a$ и $b$ . $a$ и $b$ могут быть разными в разных случаях теоремы (и они и есть разные - $a,b=\sqrt2,\sqrt2$ в первом случае, $a,b=\sqrt2^{\sqrt2},\sqrt2$ во втором).

у нас нет конкретных a и b. Читайте внимательно. У нас есть противоречащие условия, при которых a и b могут принимать любые значения, непротиворечащие условию. Для этого в моей демонстрации я указал переменную х. Ответьте на вопрос. Вы согласны с тем, что в первом случае a = b , а во втором a не равно b? Противоречат ли друг другу эти суждения? Вопросы точные, понятные, однозначные и предполагает ответ да/нет.

kotenok gav · 21/05/16 4292 Аделаида