Слабо сходящаяся последовательность в гильбертовом пр-ве

[artempalkin]

Nemiroff в сообщении #1551469 писал(а):

Если вы замените скалярное произведение на билинейное "взаимодействие функционала с вектором", получите то же самое в банаховом.

Но будет ли в БП сопряженный оператор?
Доказательство его существования существенно опирается на теорему Риса (хотя я уже не знаю, чему верить), которая не может быть верна для произвольного банахова пространства (если применять ее к билинейному действию функционалов на элементы), хотя бы потому что произвольное банахово пространство не изометрически изоморфно своему сопряженному.

[thething]

artempalkin в сообщении #1551492 писал(а):

Но будет ли в БП сопряженный оператор?

Будет, конечно (и даже ограниченный, если исходный был ограничен). Вы, главное, не путайте сопряжённый в гильбертовом пространстве с сопряжённым в негильбертовом -- определяются они, все-таки по-разному.

[artempalkin]

thething в сообщении #1551495 писал(а):

Будет, конечно

Пока что не очень укладывается в голове. Чтобы был сопряженный оператор, кажется, нужно, чтобы количество функционалов было "равно" количеству элементов, но в БП это не так (хотя неизометрические изоморфизмы, наверное, можно построить... норма, видимо, не сохраняется?)

thething в сообщении #1551495 писал(а):

(и даже ограниченный, если исходный был ограничен)

Я думал, что понятие сопряженного оператора рассматривается только для ограниченных.

thething в сообщении #1551495 писал(а):

определяются они, все-таки по-разному.

Да, надо разбираться, как они определяются.

[thething]

artempalkin в сообщении #1551496 писал(а):

Я думал, что понятие сопряженного оператора рассматривается только для ограниченных.

Для произвольных тоже вводится (тот же Хелемский ограниченности в своём определении не требует). Но, в основном, неограниченные операторы всё-таки имеют смысл скорее над гильбертовыми пространствами.

Добавлю, что "будет, конечно" у меня относилось к случаю ограниченного оператора, естественно, а так-то никто не запрещает определять для какого угодно. Правда, есть ли смысл в неограниченных операторах над произвольными банаховыми пространствами -- не знаю, пусть эксперты прояснят...

thething в сообщении #1551497 писал(а):

Да, надо разбираться, как они определяются.

На гильбертовом пространстве вводится обычный сопряжённый оператор (в смысле банаховых пространств) между сопряжёнными гильбертовыми. А, учитывая, что в гильбертовых пространствах есть изоморфизм Рисса, возникает оператор, "эквивалентный" обычному сопряжённому, между исходными пространствами. Он и будет сопряжённым в смысле классического определения в гильбертовом пространстве.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1551496 писал(а):

Чтобы был сопряженный оператор, кажется, нужно, чтобы количество функционалов было "равно" количеству элементов

Совершенно необязательно. Просто сопряженный оператор действует на сопряженном пространстве.

artempalkin в сообщении #1551496 писал(а):

хотя неизометрические изоморфизмы, наверное, можно построить... норма, видимо, не сохраняется?

Даже просто биекцию (ну а она давала бы линейны изоморфизм) не всегда: мощность $l_\infty^*$ больше мощности $l_\infty$.

(Оффтоп)

thething в сообщении #1551501 писал(а):

Правда, есть ли смысл в неограниченных операторах над произвольными банаховыми пространствами -- не знаю, пусть эксперты прояснят

Я вообще не эксперт, но в каком-то курсе полторы лекции было про неограниченные операторы на произвольных банаховых пространствах. Которые правда непонятно зачем нужны были, потому что в итоге ничего кроме гильбертовых не требовалось.