Слабо сходящаяся последовательность в гильбертовом пр-ве

[artempalkin]

Друзья, такой вопрос, на который я не нашел ответа явного пока.
Пусть речь идет о гильбертовом пр-ве, $A$ - ограниченный линейный оператор на нем.
$x_n\overset w {\to} x$ (т.е. слабо сходится)
$Ax_n\to y$
Вопрос: верно ли, что $Ax=y$?
Вероятно, ответ "нет", но контрпримера я не знаю. "Да" не совсем доказывается.

$||Ax_n-Ax||\leqslant |(Ax_n-Ax,Ax_n)|+|(Ax_n-Ax,Ax)|=|(x_n-x,A^*Ax_n)|+|(x_n-x,A^*Ax)|$
Второе слагаемое сколь угодно мало, т.к. это значения некоторого функционала от $x_n-x$.
А вот с первым слагаемым не совсем ясно... Подскажите, пожалуйста!

[mihaild]

Вы никак не использовали то, что $A x_n \to y$, а без этого доказать не получится (возьмите слабо, но не сильно сходящуюся последовательность, и тождественный $A$). Раз $Ax_n$ сходится, то $Ax_n = y + y_n$, где $y_n \to 0$. Подставьте это в первое слагаемое и воспользуйтесь тем, что слабо сходящаяся последовательность ограничена.

[thething]

Ограниченный оператор переводит слабо сходящиеся последовательности в слабо сходящиеся. Из сильной сходимости вытекает слабая. Слабый предел единственен. Этого должно хватить для доказательства.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1551280 писал(а):

Вы никак не использовали то, что $A x_n \to y$, а без этого доказать не получится (возьмите слабо, но не сильно сходящуюся последовательность, и тождественный $A$). Раз $Ax_n$ сходится, то $Ax_n = y + y_n$, где $y_n \to 0$. Подставьте это в первое слагаемое и воспользуйтесь тем, что слабо сходящаяся последовательность ограничена.

$|(x_n-x,A^*(y+y_n))|\leqslant |(x_n-x,A^*y)|+||x_n-x||\cdot||A^*y_n||$

первое слагаемое стремится к нулю из-за слабой сходимости, а второе - т.к. первый множитель ограничен (т.к. слабо сходящаяся последовательность ограничена), а второй стремится к нулю, т.к. $y_n\to \theta$. Да, все получается, спасибо!

Но путь я выбрал сложный, проще размышлять по лекалам thething:
1) последовательность сходится слабо $\Rightarrow$ последовательность образов сходится слабо к образу предела
2) последовательность образов сходится по норме к некоторому элементу $\Rightarrow$ она сходится слабо к этому элементу
3) слабый предел единственен

[artempalkin]

Друзья, вот (1) пункт несколько заинтересовал меня.

artempalkin в сообщении #1551292 писал(а):

1) последовательность сходится слабо $\Rightarrow$ последовательность образов сходится слабо к образу предела

Я так понимаю, что это будет верно только для гильбертовых пространств? Легко доказывается с помощью теоремы Рисса, но в случае банаховых пространств я что-то не вижу перспектив доказательства...

[mihaild]

Да прямо по определению, композиция функционала на пространстве-образе с линейным оператором - это как раз функционал на исходном пространстве.

[artempalkin]

mihaild
Да, такой гениальный ход мне в голову не пришёл...

[artempalkin]

Так... эта задача, видимо, никогда не кончится...
Пусть

$$x_n\overset w {\to}x$$

$$Ax_n\overset w {\to} y,$$

но есть ли гарантия, что $y=Ax$?

[Slav-27]

Линейное отображение банаховых пространств ограничено $\Longleftrightarrow$ непрерывно относительно топологии нормы $\Longleftrightarrow$ непрерывно относительно слабой топологии.

[thething]

artempalkin
А единственность слабого предела Вам зачем?

[artempalkin]

Slav-27 в сообщении #1551344 писал(а):

Линейное отображение банаховых пространств ограничено $\Longleftrightarrow$ непрерывно относительно топологии нормы $\Longleftrightarrow$ непрерывно относительно слабой топологии.

Спасибо, но мне пока такое недоступно.

thething в сообщении #1551345 писал(а):

А единственность слабого предела Вам зачем?

Уточню: я имею в виду банахово пространство. В гильбертовом понятно: если $x_n\overset w {\to}x$, то $(Ax_n,c)=(x_n,A^*c)\to(x,A^*c)=(Ax,c)$
А в банаховом, эээ... Я понял, что если $x_n$ сходится слабо, то и $Ax_n$ будет слабо сходиться, но к чему? В доказательстве для ГП я существенно использую скалярное произведение, которого в БП нету...

[Nemiroff]

Вам же написали.

mihaild в сообщении #1551306 писал(а):

композиция функционала на пространстве-образе с линейным оператором - это как раз функционал на исходном пространстве.

$(f\circ A)x = f(Ax)$

[thething]

artempalkin
Все факты, которые я приводил -- они верны для банаховых пространств. Если непонятно, откуда единственность слабого предела -- то предположите противное и примените следствие из теоремы Хана-Банаха. Про остальное уже написали, и мне показалось, что Вы это поняли, суд вот по этому:

artempalkin в сообщении #1551308 писал(а):

Да, такой гениальный ход мне в голову не пришёл...

[artempalkin]

Nemiroff в сообщении #1551402 писал(а):

$(f\circ A)x = f(Ax)$

thething в сообщении #1551405 писал(а):

Все факты, которые я приводил -- они верны для банаховых пространств.

Да, согласен, просто не связал эти факты.

Если $x_n \overset w {\longrightarrow} x$, то $f(Ax_n)=(fA)(x_n) \longrightarrow (fA)(x)=f(Ax)$, что значит, что $Ax_n \overset w {\longrightarrow} Ax$

Интересно, что Моисеев в доказательстве этого факта существенно опирается на скалярное произведение (и то только после введения понятия сопряженного оператора). Это, конечно, не ошибка, но как-то создает ощущение, что этот факт верен только для ГП, но не для БП.

[Nemiroff]

artempalkin в сообщении #1551396 писал(а):

если $x_n\overset w {\to}x$, то $(Ax_n,c)=(x_n,A^*c)\to(x,A^*c)=(Ax,c)$

Если вы замените скалярное произведение на билинейное "взаимодействие функционала с вектором", получите то же самое в банаховом.