Что за отображение?

[TelmanStud]

Доброго времени суток!
Пусть у меня имеется множество $A$ и отображение$f(x,y)\in A$, для любых $x,y\in A$. Причем для каждого $z\in A$ представление $z=f(x,y)$ единственно.
Имеет ли такое отображение "в себя" какое то общепринятое название в алгебре?

[bot]

TelmanStud в сообщении #1550988 писал(а):

Причем для каждого $z\in A$ представление $z=f(x,y)$ единственно.

Надо ли понимать, что кроме единственности требуется ещё существование? Иначе говоря, биективно ли отображение $A\times A\to A\,?$
В таком случае операция $f$ может трактоваться как одна из трёх операций канторовой алгебры или как функция нумерации пар в теории нумераций, но специального названия для неё нет - не напасёшься.

Однако в биективности сомневаюсь, ибо

TelmanStud в сообщении #1550988 писал(а):

Имеет ли такое отображение "в себя"...

[TelmanStud]

bot
Спасибо!

Цитата:

Надо ли понимать, что кроме единственности требуется ещё существование?

Да.

Цитата:

Однако в биективности сомневаюсь, ибо

Почему же? Например, если рассмотреть множество из трех элементов $a_1,a_2,a_3$ и определить $f(a_1,a_2)=f(a_2,a_1)=a_3$ и аналогично (циклично) для остальных, то вроде получается. Хотя это игрушечный пример, он дает добро на возможность существования такого отображения.

(Оффтоп)

Кажись я при создании топика не указал на возможность $f(x,y)=f(y,x)$. Виноват.

[bot]

1) Я просто хотел уточнить для какого каждого $z$? Для любого, для которого хотя бы одно представление есть или для каждого оно есть и единственно? Во втором случае это бы просто означало, что отображение $A\times A\to A$ биективна.

2) Подразумевалась ли биективность? А к чему тогда говорить про "отображение в"
В случае суръективности и, в частности, биективности говорят об "отображении на"
Вот в этом и было сомнение - не в факте, а в том, что Вы имели в виду.

А теперь непонятки продолжаются.

TelmanStud в сообщении #1551013 писал(а):

Например, если рассмотреть множество из трех элементов $a_1,a_2,a_3$ и определить $f(a_1,a_2)=f(a_2,a_1)=a_3$ и аналогично (циклично) для остальных, то вроде получается.

А что получается? Получится простейшая система троек Штейнера,, состоящая из одной тройки
Если к Вашим соотношениям добавить ещё $f(x,x)=x,$ то получится квазигруппа Штейнера, а если добавить единицу $e$ внешним образом, полагая ещё $f(x,x)=e,$, то получится лупа Штейнера.

О каком отображении речь, если $f$ определена не на всех парах?
Не ясно. Во всяком случае биекция между $A$ и $A\times A$ возможна лишь при бесконечном $A$.
В этом случае, как уже сказано, возникает канторова алгебра в алгебре или нумерация пар в рекурсивных функциях.

[TelmanStud]

Спасибо!

Цитата:

Подразумевалась ли биективность?

Подразумевалась.

Цитата:

О каком отображении речь, если $f$ определена не на всех парах?

Непонятно. Вроде указал, что $f(a_1,a_2)=f(a_2,a_1)a_3$ и аналогично для всех.

[bot]

TelmanStud в сообщении #1551020 писал(а):

Подразумевалась.

bot в сообщении #1551017 писал(а):

Во всяком случае биекция между $A$ и $A\times A$ возможна лишь при бесконечном $A$.

TelmanStud в сообщении #1551020 писал(а):

что $f(a_1,a_2)=f(a_2,a_1)a_3$

Это я понял, уже ответил - возникает тройка Штейнера. А что такое $f(a_1,a_1)\,?$

[TelmanStud]

bot
Да..на биективность рассчитывать не приходится.
Спасибо еще раз!