Теорема о разложении гильбертова пространства

[artempalkin]

Моисеев в лекциях теорему доказывает так:
Сначала доказывается лемма о том, что в выпуклом замкнутом множестве в ГП существует элемент с наименьшей нормой. Там все понятно.

Далее доказывается основная теорема: если $H_1$ - подпространство ГП $H$, то $\forall x\in H$ однозначно $x=x_1+x_2$, где $x_1\in H_1$, $x_2\in H_1^{\perp}$.

Сначала рассматривается $\rho(x,H_1)$

$$\rho(x,H_1)=\inf\limits_{y\in H_1}||x-y||=\inf\limits_{y\in H_1-x}||y||$$

Поскольку $H_1-x$ замкнуто и выпукло (это надо доказывать, но там все понятно), то минимум достигается, то есть есть такой элемент $x_1\in H_1$, что

$$||x-x_1||=\rho(x,H_1)$$

Далее $x_2=x-x_1$ и нужно доказать, что из условия минимальности нормы должно следовать, что $x_2\perp x_1$. И вот тут я никак не могу понять, как это сделать, подскажите, пожалуйста.

[thething]

А в лекциях этого нет?

Можно рассмотреть функцию $f(t)=\|x-x_1(1+t)\|^2$ и учесть, что при $t=0$ она имеет минимум. Это для действительного случая, в комплексном надо подрихтовать.

[artempalkin]

thething в сообщении #1550932 писал(а):

А в лекциях этого нет?

Вот полное доказательство Моисеева этой теоремы:

Цитата:

Достаточно убедиться, что $x_1$ - элемент, доставляющий минимум расстояния между $x$ и $H_1$. Единственность очевидна.

thething в сообщении #1550932 писал(а):

Можно рассмотреть функцию $f(t)=\|x-x_1(1+t)\|^2$ и учесть, что при $t=0$ она имеет минимум.

Да, все получается, спасибо!

[artempalkin]

А для того чтобы доказать для комплексного случая, можно рассмотреть:
$f(a, b) =||x-(a+ib) x_1||^2$
Это будет действительная функция двух действительных переменных, дифференцируемая и прочее. Она имеет минимум в точке $(1, 0) $. А значит её обе частные производные в этой точке должны быть равны нулю, что и даёт нужные условия.