Кратный корень у результанта

[DLL]

Хочу понять один факт. Есть определенная система 4 полиномиальных уравнений на 4 неизвестных $(x,y,z,u)$

$$ F_1(x,y) = F_2(y,z) = F_3(z,u) = F_4(u,x) = 0, $$

В некоторой точке $(x_1,y_1,z_1,u_1)$ существует касательный вектор $\vec n = (\alpha, \beta, \gamma, \delta) \ne 0$ такой что градиент каждой функции $F_i$:

$$grad \,F_i \cdot \vec n = 0,$$

То есть матрица составленная из градиентов имеет нулевой детерминант в этой точке.

При этом если посчитать второй результант (от результантов от $F_1$ и $F_2$ и от $F_3$ и $F_4$), то получается что у точки $z_1$ корень кратный.
Это случайность или общетеоретический факт?

[DLL]

Я для начала решил взять систему проще:

$$ T_1 := A_{22} w^2 z^2 + A_{02} w^2 + A_{20} z^2 + 2 w z + A_{00}, $$ $$ T_2 := B_{22} w^2 z^2 + B_{02} w^2 + B_{20} z^2 + 2 w z + B_{00}, $$

Существование касательного вектора эквивалетно тому что соответствующий детерминант нулевой

T0 := -4*A02*B22*w^3*z + 4*A20*B22*w*z^3 + 4*A22*B02*w^3*z - 4*A22*B20*w*z^3 - 4*A02*B20*w*z + 4*A20*B02*w*z - 4*A02*w^2 + 4*A20*z^2 + 4*B02*w^2 - 4*B20*z^2

Далее я посчитал $resultant(T1, T2, w)$:

res0 := A20^2*B22^2*z^8 - 2*A20*A22*B20*B22*z^8 + A22^2*B20^2*z^8 + 2*A00*A20*B22^2*z^6 - 2*A00*A22*B20*B22*z^6 - 2*A02*A20*B20*B22*z^6 + 2*A02*A22*B20^2*z^6 + 2*A20^2*B02*B22*z^6 - 2*A20*A22*B00*B22*z^6 - 2*A20*A22*B02*B20*z^6 + 2*A22^2*B00*B20*z^6 + A00^2*B22^2*z^4 - 2*A00*A02*B20*B22*z^4 + 4*A00*A20*B02*B22*z^4 - 2*A00*A22*B00*B22*z^4 - 2*A00*A22*B02*B20*z^4 + A02^2*B20^2*z^4 - 2*A02*A20*B00*B22*z^4 - 2*A02*A20*B02*B20*z^4 + 4*A02*A22*B00*B20*z^4 + A20^2*B02^2*z^4 - 2*A20*A22*B00*B02*z^4 + 4*A20*A22*z^6 - 4*A20*B22*z^6 + A22^2*B00^2*z^4 - 4*A22*B20*z^6 + 4*B20*B22*z^6 + 2*A00^2*B02*B22*z^2 - 2*A00*A02*B00*B22*z^2 - 2*A00*A02*B02*B20*z^2 + 2*A00*A20*B02^2*z^2 - 2*A00*A22*B00*B02*z^2 + 4*A00*A22*z^4 - 4*A00*B22*z^4 + 2*A02^2*B00*B20*z^2 - 2*A02*A20*B00*B02*z^2 + 4*A02*A20*z^4 + 2*A02*A22*B00^2*z^2 - 4*A02*B20*z^4 - 4*A20*B02*z^4 - 4*A22*B00*z^4 + 4*B00*B22*z^4 + 4*B02*B20*z^4 + A00^2*B02^2 - 2*A00*A02*B00*B02 + 4*A00*A02*z^2 - 4*A00*B02*z^2 + A02^2*B00^2 - 4*A02*B00*z^2 + 4*B00*B02*z^2

И производную

res1 := 8*A20^2*B22^2*z^7 - 16*A20*A22*B20*B22*z^7 + 8*A22^2*B20^2*z^7 + 12*A00*A20*B22^2*z^5 - 12*A00*A22*B20*B22*z^5 - 12*A02*A20*B20*B22*z^5 + 12*A02*A22*B20^2*z^5 + 12*A20^2*B02*B22*z^5 - 12*A20*A22*B00*B22*z^5 - 12*A20*A22*B02*B20*z^5 + 12*A22^2*B00*B20*z^5 + 4*A00^2*B22^2*z^3 - 8*A00*A02*B20*B22*z^3 + 16*A00*A20*B02*B22*z^3 - 8*A00*A22*B00*B22*z^3 - 8*A00*A22*B02*B20*z^3 + 4*A02^2*B20^2*z^3 - 8*A02*A20*B00*B22*z^3 - 8*A02*A20*B02*B20*z^3 + 16*A02*A22*B00*B20*z^3 + 4*A20^2*B02^2*z^3 - 8*A20*A22*B00*B02*z^3 + 24*A20*A22*z^5 - 24*A20*B22*z^5 + 4*A22^2*B00^2*z^3 - 24*A22*B20*z^5 + 24*B20*B22*z^5 + 4*A00^2*B02*B22*z - 4*A00*A02*B00*B22*z - 4*A00*A02*B02*B20*z + 4*A00*A20*B02^2*z - 4*A00*A22*B00*B02*z + 16*A00*A22*z^3 - 16*A00*B22*z^3 + 4*A02^2*B00*B20*z - 4*A02*A20*B00*B02*z + 16*A02*A20*z^3 + 4*A02*A22*B00^2*z - 16*A02*B20*z^3 - 16*A20*B02*z^3 - 16*A22*B00*z^3 + 16*B00*B22*z^3 + 16*B02*B20*z^3 + 8*A00*A02*z - 8*A00*B02*z - 8*A02*B00*z + 8*B00*B02*z

Два базиса Гребнера (без производной от результанта и с ней) дают одинаковые результаты

GB3 := Basis([T1, T2, T0], tdeg(A22, A20, A02, A00, B22, B20, B02, B00, z, w));
GB4 := Basis([T1, T2, T0, res1], tdeg(A22, A20, A02, A00, B22, B20, B02, B00, z, w));

Размер у них большой - но количество элементов одинаковое и каждый элемент одного попарно совпадает с другим.
Все-таки хотелось бы понять, как это можно показать без Гребнера. Я попробовал расписать тот факт что результант принадлежит идеалу и рассмотреть его производную. Но что-то малопродуктивно получается..