2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Условная сходимость ряда (с параметром)
Сообщение31.10.2008, 20:25 
Здравствуйте.

Требуется найти все значения параметра $\alpha, при которых ряд $\sum \limits_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n-1}} {(\sqrt{n+1} + (-1)^{n})^{\alpha}}$ сходится условно.
Ответ должен получиться $1< \alpha \leqslant 2$.

Меня интересует вот что. Можно ли утверждать о сходимости знакопеременного ряда $\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n$ на основании сходимости/расходимости ряда $\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n$, если $a_n \sim b_n,  n\to\infty$? (Вроде как нет, но я не уверен).
Если нет, то существуют ли признаки сходимости для рядов вида $\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_nb_n$, где ни $\{a_n\}$, ни $\{b_n\}$ не являются монотонными?
Если и это нет, то каким способом можно данный ряд исследовать?

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 20:27 
Аватара пользователя
Adjirranirr в сообщении #154915 писал(а):
Можно ли утверждать о сходимости знакопеременного ряда $\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n$ на основании сходимости/расходимости ряда $\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n$, если $a_n \sim b_n, n\to\infty$?
Нельзя.
Adjirranirr в сообщении #154915 писал(а):
Если нет, то существуют ли признаки сходимости для рядов вида $\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_nb_n$, где ни $\{a_n\}$, ни $\{b_n\}$ не являются монотонными?
Кто знает?
Adjirranirr в сообщении #154915 писал(а):
каким способом можно данный ряд исследовать?
Использовать два-три первых члена ф-лы Тейлора.

 
 
 
 
Сообщение31.10.2008, 20:55 
Аватара пользователя
Можно аккуратно расщепить на два ряда: знакопеременный, сходящийся при любых $\alpha>0$ (а начиная от 2 - сходящийся абсолютно), и знакопостоянный, сходящийся выше 1.

 
 
 
 Re: Ряды
Сообщение01.11.2008, 06:20 
Adjirranirr писал(а):
Требуется найти все значения параметра $\alpha, при которых ряд $\sum \limits_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n-1}} {(\sqrt{n+1} + (-1)^{n})^{\alpha}}$ сходится условно.
Ответ должен получиться $1< \alpha \leqslant 2$.

Сгруппируйте члены ряда попарно, получите знакопостоянный ряд, причём монотонный. Суммы пар оцениваются (да, по главным членам Тейлора) как

$${1\over(\sqrt n-1)^{\alpha}}-{1\over(\sqrt{n+1}+1)^{\alpha}}\sim{1\over n^{\alpha/2}}\left(1+{\alpha\over\sqrt n}\right)-{1\over(n+1)^{\alpha/2}}\left(1-{\alpha\over\sqrt n}\right)\sim{2\alpha+{\alpha\over2}\over n^{\alpha+1\over2}}$$

, после чего вопрос о сходимости/расходимости очевиден.

 
 
 
 
Сообщение01.11.2008, 10:26 
Аватара пользователя
Всё хорошо, но так Вы теряете информацию о том, когда изначальный ряд начинает сходиться абсолютно.

 
 
 
 
Сообщение01.11.2008, 14:01 
Рассмотренный ewert способ, мне кажется, требует дополнительных рассуждений, поскольку ссылкой на теоремы о сходимости рядов с положительными членами дело не исчерпывается.
В самом деле, из очевидной сходимости ряда
$(1-1) + (1-1) + (1-1) +… = 0 + 0 + 0 + …$
cходимость исходного ряда
$1 -1 + 1 - 1 + 1 -1+...$
не следует!

Что до абсолютной сходимости исходного ряда $\sum \limits_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n-1}} {(\sqrt{n+1} + (-1)^{n})^{\alpha}}$, то для её исследования достаточно применить признак сходимости рядов с эквивалентными членами (это там где $a_n$ ~ $b_n$).

 
 
 
 
Сообщение01.11.2008, 15:29 
ИСН писал(а):
Всё хорошо, но так Вы теряете информацию о том, когда изначальный ряд начинает сходиться абсолютно.

Мы ничего не теряем, абсолютная сходимость рассматривается отдельно, и тривиально получается, что она возможна лишь при $\alpha>2$.

Добавлено спустя 6 минут 8 секунд:

GAA писал(а):
Рассмотренный ewert способ, мне кажется, требует дополнительных рассуждений, поскольку ссылкой на теоремы о сходимости рядов с положительными членами дело не исчерпывается.
В самом деле, из очевидной сходимости ряда
$(1-1) + (1-1) + (1-1) +… = 0 + 0 + 0 + …$
cходимость исходного ряда
$1 -1 + 1 - 1 + 1 -1+...$
не следует!

Очевидно, что в доказательстве сам собой подразумевается учёт того очевидного факта, что в интересующем нас диапазоне параметра общий член стремится к нулю.

 
 
 
 
Сообщение01.11.2008, 15:36 
ewert, я лишь обратил внимание автора вопроса, что потребуются дополнительные, впрочем, очевидные рассуждения. Думаю, ни у кого нет сомнений в то, что Вы их сможете проделать.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group