2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тожества с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение10.03.2022, 14:32 
Аватара пользователя


26/11/14
773
Закопался в $arc$-ах, помогите разобраться пожалуйста. Пытаюсь выразить $\arccos(x)$ через $\arctg$ на интервале: $-1<x<0$

Обозначу: $y=\arccos(x)$ , тогда по его определению : $\cos(y)=x$ при $0\leqslant y \leqslant \pi$.

Т.к.: $\tg(y) = \frac{\pm \sqrt{1-\cos^2(y)}}{\cos(y)}=\frac{\pm \sqrt{1-x^2}}{x}$ , и на $-1<x<0$, фактически $ -\frac{\pi}{2} <y\leqslant \pi$, тогда:

$\tg(y) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$, и тогда: $y= \arctg \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} $. Но, очевидно на $(-1, 0): \,\,\arccos(x) \ne \arctg \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} $.

Сравнивая графики, можно догадаться как должно быть. На: $(-1, 0): \,\,\arccos(x) = \pi + \arctg \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} $. А как это получить аналитически? Где я что-то упускаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тожества с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение10.03.2022, 16:04 
Аватара пользователя


26/11/14
773
Stensen в сообщении #1550141 писал(а):
$\tg(y) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$, и тогда: $y= \arctg \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} $. Но, очевидно на $(-1, 0): \,\,\arccos(x) \ne \arctg \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} $.

Сравнивая графики, можно догадаться как должно быть. На: $(-1, 0): \,\,\arccos(x) = \pi + \arctg \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} $. А как это получить аналитически? Где я что-то упускаю?
Вроде мысль загрузилась. Т.к.:

$\tg(y) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$, то: $y= \arctg \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} + \pi k, \,\,k\in \mathbb{Z} $ , где: $\frac{\pi}{2} <y\leqslant \pi$, тогда: $k=1$. Поправьте, если не верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тожества с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение13.03.2022, 16:06 
Аватара пользователя


26/11/14
773
Вопрос решен

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group