Соленоид и ток.

[dovlato]

Бесконечно длинный тонкий проводник с током $I(t)$ образует вершину двугранного угла с плоской мерой $\alpha$.
На гранях этого угла находятся концы длинного узкого соленоида. Соленоид не обязательно прямой, может быть "плавно изогнутым", но, допустим, не оборачивается вокруг проводника. Поперечное сечение соленоида и плотность намотки постоянны; его индуктивность $L$, число витков нём $N\gg 1$.
Требуется найти ЭДС индукции в соленоиде.

[Ignatovich]

(Оффтоп)

$\varepsilon=\frac{\alpha L}{2\pi N}\frac{dI}{dt}$

[dovlato]

Ignatovich Кстати, формула работает и в том случае, если соленоид таки сделает несколько оборотов вокруг проводника. И, думается, требование "узости соленоида" для ряда частных случаев можно ослабить, с небольшими усложнениями.. это вообще-то предмет обсуждения.

[Ignatovich]

dovlato
Я полагал, что "диаметр" сечения соленоида значительно меньше его длины, расстояния до провода и радиуса кривизны соленоида. Все условия кажутся важными.
На всякий случай замечу, что в задачке рассматривается пояс Роговского https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%8F%D1%81_%D0%A0%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE

[dovlato]

Про "пояс Роговского" не знал, спасибо .
Перечисленные Вами условия конечно важны, я в условии о них упомянул.
Но, думаю, соленоид не слишком узкий можно образовать, мысленно разбив его сечение на большое число малых сечений, то есть представить его как результат объединения узких соленоидов, но с различающимися плотностями намотки.

[Ignatovich]

dovlato в сообщении #1550298 писал(а):

Но, думаю, соленоид не слишком узкий можно образовать, мысленно разбив его сечение на большое число малых сечений, то есть представить его как результат объединения узких соленоидов, но с различающимися плотностями намотки.

Вижу пример, когда такое разбиение приводит к успеху: соленоид в виде тороида и прямой провод на его оси. Но такая задача легко решается и обычными методами. Интересно, есть ли другие примеры?

[dovlato]

Я вот, заслуженный чайник, не знаю, можно ли импортировать сюда снимки, и как.
По идее, сам соленоид вовсе не обязан быть каким-то симметричным.
Мало того, если соленоид - геометрически замкнутый контур т.е. если $\alpha=2\pi$,
то прямой провод может быть ориентирован относительно соленоида абы как,
лишь бы внутри этого контура. Собственно, провод может и не быть "прямым и бесконечным".

[Ignatovich]

Вижу, что Вы правы по крайней мере относительно замкнутого соленоида. Интересно. оказывается, если соленоид с плотной намоткой охватывает провод с током, то ЭДС индукции в соленоиде определяется формулой $\varepsilon=(L/N)dI/dt$ , справедливой не только для тонкого соленоида, но и для соленоида с произвольными размерами поперечного сечения.
Приведу свое доказательство.
Если в проводе (в проволочном контуре) протекает ток I, то магнитный поток через витки соленоида равен
$\Phi_c=L_{12}I$
Если в соленоиде протекает ток $I_c$, то магнитный поток через проволочный контур
$\Phi_k=L_{21}I_c$.
Взаимные индуктивности равны.
Предполагая, что магнитный поток сосредоточен внутри соленоида и что поток через любой виток одинаковый, запишем
$\Phi_k=LI_c/N$.
Поэтому
$\Phi_c$=($\Phi_k/I_c)I=LI/N$,
$\varepsilon=(L/N)dI/dt$

[dovlato]

Похоже, это доказательство справедливо для любого симметричного тороидального соленоида с произвольной формой сечения: тогда у него внешнее магнитное поле отсутствует.

[Ignatovich]

dovlato в сообщении #1550388 писал(а):

Похоже, это доказательство справедливо для любого симметричного тороидального соленоида с произвольной формой сечения: тогда у него внешнее магнитное поле отсутствует.

Мне кажется, что внешнее поле будет отсутствовать для любого замкнутого соленоида (не обязательно симметричного) с постоянным поперечным сечением. Но в доказательстве остались вопросы. Уважаемый dovlato, спасибо за интересный сюжет и его обсуждение.

[dovlato]

Спасибо взаимное, Ignatovich. Интересное доказательство привели.
Наверное, мне следует набросать своё решение.
Будем считать плоскость каждого витка перпендикурной местному направлению "оси соленоида".
Тогда поток:
$\Phi=\int ns\mathbf B(\mathbf r)d\mathbf l$$=ns\int\mathbf B(\mathbf r)d\mathbf l=ns\mu_0I$$=LI/N$,
и далее как обычно.