Действительные нули функции $f(x)=a^x+b^x-c^x$

[Booker48]

$f(x)=a^x+b^x-c^x; a,b,c\in \mathbb{N}, a,b<c$
Несложно увидеть, что для бесконечного числа троек натуральных оснований нулями будут $x=\pm\frac{1}{n}, x=\pm\frac{2}{n}$. Подробнее:
$x=1$, если $a+b=c$
$x=2$, если $a^2+b^2=c^2$
$x=-1$, если $\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}$, таких "египетских" троек бесконечно много.
$x=-2$, если любую пифагорову тройку поделим на $(abc)^2$ и получим$(bc)^{-2}+(ac)^{-2}=(ab)^{-2}$
Любую из троек, рассмотренных выше можно представить в виде $(a,b,c)=(\sqrt[n]{a^n}, \sqrt[n]{b^n}, \sqrt[n]{c^n})$ и получим тройки для рациональных значений нулей функции $f(x)$.
Ещё можно найти корни для случая $a=b$, тогда $x=\frac{\ln 2}{\ln {c} - \ln {a}}$.
А ещё какие-нибудь действительные нули можно явным образом выразить?

[kotenok gav]

$x$ можно выразить через $a$, $b$, и $c$. См. «В общем виде.».

[Booker48]

kotenok gav
Спасибо, но что-то я там быстро запутался.
Не понимаю, что за $f(x)$ рассматривается. Вроде получается подстановкой из исходной, но параметры исчезают напрочь, и непонятно, какое отношение $f(x)+f(x)^x=1$ имеет к изначальному условию.
Дальнейшее опять же в тумане. Как из приведённых разложений получить корень для любой тройки $(a, b, c)$, например, для $(3, 5, 7)$?

[ИСН]

Он прикалывается, выразить нельзя.
Вернее, можно, но через эту $f(x)$, которую саму выразить нельзя.
Вернее, и её можно, но так, что... короче, нельзя.

[kotenok gav]

Ну как раз не прикалывался. Если $g(x)=\dfrac{\log(1-x)}{\log x}$, то исходный икс - $\log\left(g^{-1}\left(\dfrac{\log(b/c)}{\log(a/c)}\right)\right)/\log(a/c)$.

[ИСН]

Ну да, да, а вот эта самая $g^{-1}$...