Условная сходимость ряда (с параметром)

[Adjirranirr]

Здравствуйте.

Требуется найти все значения параметра $\alpha, при которых ряд $\sum \limits_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n-1}} {(\sqrt{n+1} + (-1)^{n})^{\alpha}}$ сходится условно.
Ответ должен получиться $1< \alpha \leqslant 2$.

Меня интересует вот что. Можно ли утверждать о сходимости знакопеременного ряда $\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n$ на основании сходимости/расходимости ряда $\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n$, если $a_n \sim b_n, n\to\infty$? (Вроде как нет, но я не уверен).
Если нет, то существуют ли признаки сходимости для рядов вида $\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_nb_n$, где ни $\{a_n\}$, ни $\{b_n\}$ не являются монотонными?
Если и это нет, то каким способом можно данный ряд исследовать?

[Brukvalub]

Adjirranirr в сообщении #154915 писал(а):

Можно ли утверждать о сходимости знакопеременного ряда $\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n$ на основании сходимости/расходимости ряда $\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n$, если $a_n \sim b_n, n\to\infty$?

Нельзя.

Adjirranirr в сообщении #154915 писал(а):

Если нет, то существуют ли признаки сходимости для рядов вида $\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_nb_n$, где ни $\{a_n\}$, ни $\{b_n\}$ не являются монотонными?

Кто знает?

Adjirranirr в сообщении #154915 писал(а):

каким способом можно данный ряд исследовать?

Использовать два-три первых члена ф-лы Тейлора.

[ИСН]

Можно аккуратно расщепить на два ряда: знакопеременный, сходящийся при любых $\alpha>0$ (а начиная от 2 - сходящийся абсолютно), и знакопостоянный, сходящийся выше 1.

[ewert]

Adjirranirr писал(а):

Требуется найти все значения параметра $\alpha, при которых ряд $\sum \limits_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n-1}} {(\sqrt{n+1} + (-1)^{n})^{\alpha}}$ сходится условно.
Ответ должен получиться $1< \alpha \leqslant 2$.

Сгруппируйте члены ряда попарно, получите знакопостоянный ряд, причём монотонный. Суммы пар оцениваются (да, по главным членам Тейлора) как

$${1\over(\sqrt n-1)^{\alpha}}-{1\over(\sqrt{n+1}+1)^{\alpha}}\sim{1\over n^{\alpha/2}}\left(1+{\alpha\over\sqrt n}\right)-{1\over(n+1)^{\alpha/2}}\left(1-{\alpha\over\sqrt n}\right)\sim{2\alpha+{\alpha\over2}\over n^{\alpha+1\over2}}$$

, после чего вопрос о сходимости/расходимости очевиден.

[ИСН]

Всё хорошо, но так Вы теряете информацию о том, когда изначальный ряд начинает сходиться абсолютно.

[GAA]

Рассмотренный ewert способ, мне кажется, требует дополнительных рассуждений, поскольку ссылкой на теоремы о сходимости рядов с положительными членами дело не исчерпывается.
В самом деле, из очевидной сходимости ряда
$(1-1) + (1-1) + (1-1) +… = 0 + 0 + 0 + …$
cходимость исходного ряда
$1 -1 + 1 - 1 + 1 -1+...$
не следует!

Что до абсолютной сходимости исходного ряда $\sum \limits_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{n-1}} {(\sqrt{n+1} + (-1)^{n})^{\alpha}}$, то для её исследования достаточно применить признак сходимости рядов с эквивалентными членами (это там где $a_n$ ~ $b_n$).

[ewert]

ИСН писал(а):

Всё хорошо, но так Вы теряете информацию о том, когда изначальный ряд начинает сходиться абсолютно.

Мы ничего не теряем, абсолютная сходимость рассматривается отдельно, и тривиально получается, что она возможна лишь при $\alpha>2$.

Добавлено спустя 6 минут 8 секунд:

GAA писал(а):

Рассмотренный ewert способ, мне кажется, требует дополнительных рассуждений, поскольку ссылкой на теоремы о сходимости рядов с положительными членами дело не исчерпывается.
В самом деле, из очевидной сходимости ряда
$(1-1) + (1-1) + (1-1) +… = 0 + 0 + 0 + …$
cходимость исходного ряда
$1 -1 + 1 - 1 + 1 -1+...$
не следует!

Очевидно, что в доказательстве сам собой подразумевается учёт того очевидного факта, что в интересующем нас диапазоне параметра общий член стремится к нулю.

[GAA]

ewert, я лишь обратил внимание автора вопроса, что потребуются дополнительные, впрочем, очевидные рассуждения. Думаю, ни у кого нет сомнений в то, что Вы их сможете проделать.