2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение06.03.2022, 18:40 
Аватара пользователя


26/11/14
773
Доброго времени суток. Помогите разобраться. Решаю:

$\arccos(x) - \arcsin(x)=\arccos(\sqrt{3}x)$. Беру косинус от обеих частей и раскладываю по формуле косинуса суммы аргументов:

$\cos (\arccos(x)) \cos (\arcsin(x))+ \sin (\arccos(x)) \sin (\arcsin(x)) =\cos (\arccos(\sqrt{3}x))$, для $x \in [- \frac{\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{3}}{3}]$, использую тождества:

1. $\arcsin(x)=\arccos(\sqrt{1-x^2})$ , которые выполняются для: $x \in [0;1]$, поэтому могу потерять корни.
$\arccos(x)=\arcsin(\sqrt{1-x^2})$ , для: $x \in [-1;1]$ (сомневаюсь?)

Правильно я понимаю, что необходимо дополнительно рассмотреть для:

2. $\arcsin(x)=-\arccos(\sqrt{1-x^2})$ , для: $x \in [-1; 0]$ ?

Тогда получаю:

1. для: $x \in [0;1]$: $\,\,x \sqrt{1-x^2}+ \sqrt{1-x^2}x = x \sqrt{3}$

$x (2 \sqrt{1-x^2} - \sqrt{3}) = 0$ и получаю корни: $x_1=0, \, x_2= \frac{1}{2}, \, x_3= -\frac{1}{2}$, где: $x_3 =- \frac{1}{2} \notin [0; 1]$, отбрасываю.

2. для $x \in [-1; 0]$: $\,\,- x \sqrt{1-x^2}+ \sqrt{1-x^2}\, x = x \sqrt{3}$, тогда $x=0$. Теряется корень $x=- \frac{1}{2}$. Подскажите, где теряю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение06.03.2022, 18:47 
Заслуженный участник


18/09/21
1772
$\arccos(x) + \arcsin(x)=\frac{\pi}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение06.03.2022, 20:35 
Заслуженный участник


18/09/21
1772
$x = \cos \varphi$ и $\sqrt 3 x = \cos(2\varphi - \frac{\pi}{2}) = \sin 2\varphi$ = 2\sin \varphi \cos \varphi
или $\cos \varphi = 0$, или $\sin \varphi = \frac{\sqrt 3}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение06.03.2022, 20:48 
Заслуженный участник


16/02/13
4214
Владивосток
Stensen в сообщении #1549924 писал(а):
сомневаюсь
Правильно сомневаетесь.
Если $\varphi=\arcsin x$, то $\\cos\vavrphi=\pm\sqrt{1-x^2}$, соответственно. $\varphi=\arccos\pm\sqrt{1-x^2}$, а не то, что вы написали.

-- 07.03.2022, 03:52 --

На всей, кстати говоря, области определения

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение с обратными тригонометрическими функциями
Сообщение10.03.2022, 13:49 
Аватара пользователя


26/11/14
773
Спасибо всем, разбираюсь

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group