Уравнение с обратными тригонометрическими функциями

[Stensen]

Доброго времени суток. Помогите разобраться. Решаю:

$\arccos(x) - \arcsin(x)=\arccos(\sqrt{3}x)$. Беру косинус от обеих частей и раскладываю по формуле косинуса суммы аргументов:

$\cos (\arccos(x)) \cos (\arcsin(x))+ \sin (\arccos(x)) \sin (\arcsin(x)) =\cos (\arccos(\sqrt{3}x))$, для $x \in [- \frac{\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{3}}{3}]$, использую тождества:

1. $\arcsin(x)=\arccos(\sqrt{1-x^2})$ , которые выполняются для: $x \in [0;1]$, поэтому могу потерять корни.
$\arccos(x)=\arcsin(\sqrt{1-x^2})$ , для: $x \in [-1;1]$ (сомневаюсь?)

Правильно я понимаю, что необходимо дополнительно рассмотреть для:

2. $\arcsin(x)=-\arccos(\sqrt{1-x^2})$ , для: $x \in [-1; 0]$ ?

Тогда получаю:

1. для: $x \in [0;1]$: $\,\,x \sqrt{1-x^2}+ \sqrt{1-x^2}x = x \sqrt{3}$

$x (2 \sqrt{1-x^2} - \sqrt{3}) = 0$ и получаю корни: $x_1=0, \, x_2= \frac{1}{2}, \, x_3= -\frac{1}{2}$, где: $x_3 =- \frac{1}{2} \notin [0; 1]$, отбрасываю.

2. для $x \in [-1; 0]$: $\,\,- x \sqrt{1-x^2}+ \sqrt{1-x^2}\, x = x \sqrt{3}$, тогда $x=0$. Теряется корень $x=- \frac{1}{2}$. Подскажите, где теряю?

[zykov]

$\arccos(x) + \arcsin(x)=\frac{\pi}{2}$

[zykov]

$x = \cos \varphi$ и $\sqrt 3 x = \cos(2\varphi - \frac{\pi}{2}) = \sin 2\varphi$ = 2\sin \varphi \cos \varphi
или $\cos \varphi = 0$, или $\sin \varphi = \frac{\sqrt 3}{2}$

[iifat]

Stensen в сообщении #1549924 писал(а):

сомневаюсь

Правильно сомневаетесь.
Если $\varphi=\arcsin x$, то $\\cos\vavrphi=\pm\sqrt{1-x^2}$, соответственно. $\varphi=\arccos\pm\sqrt{1-x^2}$, а не то, что вы написали.

-- 07.03.2022, 03:52 --

На всей, кстати говоря, области определения

[Stensen]

Спасибо всем, разбираюсь