Спектр и спектральная плотность

[ViktorArs]

Добрый день.
Хотелось бы разобраться в вопросе: в чем отличие спектра и спектральной плотности?
Мое представление такое - спектр - это спектр сигнала. Конкретного сигнала. (и на сколько я понимаю - амплитудный)
А вот спектральная плотность - это спектр, как бы это сказать, "среднестатистического сигнала". Т.е. усредненный спектр нескольких сигналов, дабы учесть статистику.
Но согласно равенству Парсеваля преобразование Фурье ограничено. То есть сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата результата преобразования. Поэтому спектральная плотность - это спектр от квадрата функции.
Верен ли ход мыслей?

[Евгений Машеров]

Не претендуя на звание источника истины, а исключительно в меру своего понимания...
Спектр это разложение сигнала по системе ортогональных функций (часто, но не обязательно - Фурье). При использовании Фурье-спектра возникает сложность оттого, что сдвиг начала координат меняет фазы всех коэффициентов при частотных компонентах, и если момент начала величина несущественная, мешающая, то можно фазовой составляющей спектра пренебречь и получить действительный спектр, показывающий распределение энергии по частотам. Это будет спектральная плотность реализации. Чтоб получить спектральную плотность процесса - усредняем по отдельным реализациям.
А вот

ViktorArs в сообщении #1549807 писал(а):

спектральная плотность - это спектр от квадрата функции.

- это неверно. Если, скажем, взять синусоиду и возвести в квадрат - то в её спектре вместо пика на частоте исходной синусоиды будет два пика - в нуле частоты и на удвоенной частоте.

[ViktorArs]

Спасибо за быстрый ответ.

Евгений Машеров в сообщении #1549834 писал(а):

Не претендуя на звание источника истины, а исключительно в меру своего понимания...
Спектр это разложение сигнала по системе ортогональных функций (часто, но не обязательно - Фурье).

Не вопрос. Понятно.

Евгений Машеров в сообщении #1549834 писал(а):

При использовании Фурье-спектра возникает сложность оттого, что сдвиг начала координат меняет фазы всех коэффициентов при частотных компонентах, и если момент начала величина несущественная, мешающая, то можно фазовой составляющей спектра пренебречь и получить действительный спектр, показывающий распределение энергии по частотам. Это будет спектральная плотность реализации. Чтоб получить спектральную плотность процесса - усредняем по отдельным реализациям.

Но сдвиг фазы же вроде как линейный. Если линейный, то это не есть проблема. А вот про "несущественная" и "мещающая", я что-то не врубился о чем это?

Евгений Машеров в сообщении #1549834 писал(а):

А вот

ViktorArs в сообщении #1549807 писал(а):

спектральная плотность - это спектр от квадрата функции.

- это неверно. Если, скажем, взять синусоиду и возвести в квадрат - то в её спектре вместо пика на частоте исходной синусоиды будет два пика - в нуле частоты и на удвоенной частоте.

Согласен. А что тогда означает тогда термин "спектральная плотность энергии (мощности) сигнала"? И зачем оно введено?

[zykov]

ViktorArs
Вы определитесь с областью применения.
Спектр в математике, в теории линейных операторов, - это одно. Это про набор собственных значений.
Спектр в технике - это другое. Например когда говорят про спектр излучения звезды - это не имеет отношения к собственным значениям какого-то оператора.

[Евгений Машеров]

zykov в сообщении #1549849 писал(а):

Например когда говорят про спектр излучения звезды - это не имеет отношения к собственным значениям какого-то оператора.

Ну как не имеет? Спектр звезды складывается из спектров излучения отдельных атомов, а их можно описать квантовомеханически, и на собственные значения выйти. Просто далёкий путь - но связь есть, тут не просто случайное совпадение.

ViktorArs в сообщении #1549840 писал(а):

Но сдвиг фазы же вроде как линейный. Если линейный, то это не есть проблема. А вот про "несущественная" и "мещающая", я что-то не врубился о чем это?

Ну вот берёте вы, для простоты, синусоиду. Делаете ей Фурье. Получаете одну комплекснозначную величину, отличную от нуля. Если вдруг возьмёте ту же синусоиду, но регистрировать её будете в другой момент времени, соответствующая величина будет иметь тот же модуль, но иной аргумент. И когда Вы пожелаете усреднить по нескольким реализациям, которые регистрируются в моменты времени, связь которых с фазой Вы контролировать не можете, то после усреднения получится 0. То есть вот этот неизвестный заранее сдвиг фазы относительно условного момента начала регистрации у нас мешающий параметр, а если он различен в разных реализациях, то и вовсе обнулит нам ответ, хотя сигнал имеется. Поэтому берём коэффициенты разложения, умножаем на комплексно сопряжённые - получаем квадраты модулей, которые уже от момента начала не зависят, и мы их можем усреднять, не боясь потерять всё.

[Евгений Машеров]

ViktorArs в сообщении #1549840 писал(а):

А что тогда означает тогда термин "спектральная плотность энергии (мощности) сигнала"? И зачем оно введено?

Спектральная плотность имеет размерность [квадрат размерности сигнала] х сек. Если квадрат размерности можно интерпретировать, как мощность (скажем, сигнал в вольтах, а сопротивление нагрузки постоянно), то можно говорить о спектре мощности. Если нельзя - тоже, бывает, говорят. Общепонятная неточность выражения.

[ViktorArs]

Супер. Спасибо. Стало вполне яснее.
Ну а спектральная плотность мощности получается специально введена для анализа "среднего" сигнала (множества реализаций)?