Свойство точки Нагеля

[nnosipov]

Случайно обнаружил такой геометрический факт.

Пусть $I$ --- инцентр треугольника $ABC$, а $J$ --- точка Нагеля этого треугольника (см. https://en.wikipedia.org/wiki/Nagel_point). Пусть также $H_3$ и $H_2$ --- ортоцентры треугольников $IAB$ и $IAC$ соответственно. Докажите, что прямые $AJ$ и $H_2H_3$ пересекаются на вписанной окружности треугольника $ABC$.

Это тянет на содержательную геометрическую задачу? Или этот факт более-менее тривиален? Прошу откликнуться любителей геометрии. (С точки зрения алгебры здесь, увы, все банально.)

[nnosipov]

Сегодня мне показали геометрическое решение этой задачи. Насколько могу судить, оно вполне содержательно.

Вообще, конечно, это проблема (и не только для dxdy) отыскать знатока элементарной геометрии, способного дать квалифицированный отзыв на подобный запрос. Мне просто повезло, что у нас в городе они есть :)

[Dimoniada]

Средненькая по красоте. Пусть \omega - вписанная окружность, ${AJ}\bigcap\omega=\mathrm{K_1}$ и \omega\subseteq{}BC=T_1. Если заметить, рассматривая \triangle{ABI}, что T_1K_1H_3 это одна прямая и аналогично - K_1T_1H_2 это прямая для \triangle{ACI}, то всё становится очевидным.

-- Ср фев 23, 2022 07:32:38 --

Средненькая по красоте. Пусть \omega - вписанная окружность, ${AJ}\bigcap\omega=\mathrm{K_1}$ и \omega\subseteq{}BC=T_1. Если заметить, рассматривая \triangle{ABI}, что T_1K_1H_3 это одна прямая и аналогично - K_1T_1H_2 это прямая для \triangle{ACI}, то всё становится очевидным.

[nnosipov]

Dimoniada в сообщении #1549435 писал(а):

Средненькая по красоте.

Ну, на шедевр я и не рассчитывал. А сколько времени у Вас ушло на решение?

[Dimoniada]

Сложно сказать сколько заняло: ~15 минут + осознание, что не так условие понял +2 дня перерыва +15 мин. Всё дело в точности чертежа - нарисовал точно и "удачно" (не попало на какие-либо частные случаи), считай что пол-задачи решил. Далее рисуются ещё пару чертежей с существенно отличающимися пропорциями в задаче и подмечаются связи между объектами, которые помогают решить задачу.

[nnosipov]

Dimoniada
Спасибо.