Консервативность => сохранение энергии

[xagiwo]

В ФЛФ (глава 14, параграф 3) написано, что из консервативности всех сил (вроде электричества) следует закон сохранения энергии. Но консервативность (если я правильно понял) там была определена лишь для сил, не зависящих от времени, в то время как со временем действующие силы сложным образом меняются (заряд движется — меняется создаваемое им поле). Есть ли "не статичное" обобщение понятия консервативности, из которого на самом деле (в модели) следует З.С.Э. (в каком-нибудь смысле)?

[EUgeneUS]

xagiwo в сообщении #1549418 писал(а):

Есть ли "не статичное" обобщение понятия консервативности, из которого на самом деле (в модели) следует З.С.Э. (в каком-нибудь смысле)?

из википедии со ссылкой на
Сивухин Д. В. Механика. — М., Наука, 1979. — с. 133
Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. — М., Наука, 1971. — с. 160

Цитата:

Некоторые авторы консервативными силами считают механические силы, работа которых по любой замкнутой траектории равна нулю и зависящие только от координат[2][3].

-- 22.02.2022, 23:33 --

xagiwo в сообщении #1549418 писал(а):

Есть ли "не статичное" обобщение понятия консервативности,

"Нестатичного обобщения" нет.

Согласно теореме Нетер, сохранение энергии есть следствие однородности времени. А если силы меняются во времени, то и однородности времени нет, и сохранения энергии нет.

Рассмотрим покоящееся массивное тело - источник силы гравитации и пробное малое тело.
1. Если массивное покоится, то энергия малого тела сохраняется.
2. Если массивное двигается (то есть силы притяжения изменяются во времени), то энергия малого тела не сохраняется.
Казалось бы, всего лишь выбор ИСО, а такая разница.

[xagiwo]

EUgeneUS в сообщении #1549420 писал(а):

энергия малого тела не сохраняется

А не будет так, что она перейдёт в энергию массивного тела, так что в некотором смысле энергия всё же сохранится? (я не считал, но очень верю в ЗСЭ)

[sergey zhukov]

xagiwo
Разумеется, суммарная энергия в этой системе сохраняется. Механическая энергия замкнутой системы (без трения) сохраняется вообще всегда, ведь на нее не действуют снаружи никакие силы: ни консервативные, ни не консервативыне. При этом какие силы действуют между частями системы (внутренние силы) - вообще все равно.

Зависимость сил от времени - это не точная формулировка. Когда тела движутся, то силы зависят от координат, которые зависят от времени. Лучше говорить о зависимости от времени констант, определяющих силовые взаимодействия. Это значило бы, что, например, что гравитационная постоянная, скорость света или электрический заряд должны были бы зависеть от времени. Этого просто не происходит на самом деле, так что энергия сохраняется.

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1549423 писал(а):

Механическая энергия замкнутой системы (без трения) сохраняется вообще всегда, ведь на нее не действуют снаружи никакие силы: ни консервативные, ни не консервативыне.

Извините, но это ересь. Сохраняется полная энергия замкнутой системы, но отнюдь не механическая.
И даже "без трения".
Цилиндр с газом, заткнутый поршнем (между цилиндром и поршнем трения нет), поместили в вакуум и отпустили.

-- 23.02.2022, 00:55 --

xagiwo в сообщении #1549422 писал(а):

А не будет так, что она перейдёт в энергию массивного тела, так что в некотором смысле энергия всё же сохранится? (я не считал, но очень верю в ЗСЭ)

Так и будет, конечно.
Но предлагается рассмотреть не систему из двух тел, а систему из одного тела (пробного), которое движется в изменяющемся во времени гравитационном поле.

[sergey zhukov]

EUgeneUS
Да, я это и хотел сказать, конечно.

[xagiwo]

sergey zhukov в сообщении #1549423 писал(а):

Когда тела движутся, то силы зависят от координат, которые зависят от времени

А, Вы имеете в виду какое-то обобщение (я знаком только со школьным понятием) координат, типа "запишем все координаты и скорости частиц и будем считать это точкой в N-мерном пространстве"? И тогда консервативность будет иметь место, а нулём потенциальной энергии будет логично считать состояние, в котором все тела унесены на бесконечность?

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1549420 писал(а):

Согласно теореме Нетер, сохранение энергии есть следствие однородности времени. А если силы меняются во времени, то и однородности времени нет, и сохранения энергии нет.

Немного не точно. Для сохранения энергии нужно, чтобы силы не зависели от времени явно. То есть необходимо $\frac{\partial U}{\partial t}=0$. Зависимость ${\bf F}({\bf x}(t))$ вполне возможна.

[xagiwo]

DimaM в сообщении #1549493 писал(а):

Немного не точно. Для сохранения энергии нужно, чтобы силы не зависели от времени явно. То есть необходимо $\frac{\partial U}{\partial t}=0$. Зависимость ${\bf F}({\bf x}(t))$ вполне возможна.

Я имел в виду, что силы зависят от множества координат, а не от тройки декартовых. Но уже понял, как это решается (просто учесть все координаты).

[sergey zhukov]

xagiwo
Скажем, тело в однородном гравитационном поле. Сила тяжести консервативна, не зависит от координат, а координаты тела зависят от времени

Тело в гравитационном поле точечной массы. Сила тяжести консервативна, зависит от координат, а координаты тела зависят от времени.

Два тела в гравитационном поле точечной массы, взаимодействующие так же гравитационно и друг с другом. Сила тяжести, действующая на каждое из них, не консервативна (работа этой силы по замкнутому контуру не обязательно равна нулю, т.к. эти тела могут обмениваться энергией). Полная энергия системы сохраняется. Здесь мы можем приписать потенциальную энергию (функцию, зависящую только от координат всех частей системы) всей этой системе. Если координаты всех частей системы (шесть координат) приписать гипотетической точке в многомерном пространстве, то у этой точки будет определенная потенциальная энергия в каждой точке ее шестимерного пространства. Тогда можно говорить о некоторой силе, действующей на эту точку, как градиенте этой потенциальной энергии. Эта сила будет консервативной, т.к. сумма работ всех сил в системе при движении этой системы по замкнутому контуру (начальная и конечная конфигурация системы одинаковы) всегда равна нулю.

В этих примерах силы зависят от времени только через координаты (т.к. сила есть градиент потенциала, который зависит только от координат). Но если во всех этих примерах сама гравитационная постоянная $G$ будет зависеть от времени, то энергия всей системы и ее отдельных частей перестанет сохраняться. Это будет означать явную зависимость сил от времени.

[xagiwo]

sergey zhukov, спасибо!

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1549537 писал(а):

Два тела в гравитационном поле точечной массы, взаимодействующие так же гравитационно и друг с другом. Сила тяжести, действующая на каждое из них, не консервативна (работа этой силы по замкнутому контуру не обязательно равна нулю, т.к. эти тела могут обмениваться энергией). Полная энергия системы сохраняется.

Тут всё зависит, как рассматривать систему.
1. Рассматриваем только одно тело, второе создает гравитационное поле, но мы его не включаем в систему.
Тогда сила действующая на пробное тело явно зависит от времени: $\vec{F}(\vec{x_1}(t), t)$
Условия теоремы Нетер не выполняются, выполнение ЗСЭ никто не обещает.
Что я и предлагал выше для иллюстрации. Да, это может быть непривычно, но нам никто не запретит выбирать систему так, как захотим.

2. Рассматриваем систему из двух тел. Тогда сила, действующая на одно тело, будет зависеть от координат обоих тел, и не будет зависеть от времени явно.
$\vec{F}(\vec{x_1}(t), \vec{x_2}(t))$.
Условия теоремы Нетер выполняются, и ЗСЭ выполняется.

[Red_Herring]

EUgeneUS в сообщении #1549545 писал(а):

Тогда сила действующая на пробное тело явно зависит от времени.
Условия теоремы Нетер не выполняются, выполнение ЗСЭ никто не обещает.
Что я и предлагал выше для иллюстрации. Да, это может быть непривычно, но нам никто не запретит выбирать систему так, как захотим.

Это вполне разумно например, в ограниченной задаче 3х тел, когда третье тело практически невесомое: 2 тела движутся по Кеплеровском эллипсам вокруг общего ц.т., а вот движение 3го надо найти.