Мат.ожидание и дисп. распределения биноминального и Пуассона

[mihaild]

Лучше по отдельности слагаемые расписывайте, а не таскайте три ряда вперемешку - каждый из них хорошо считается.
Что у вас за странный переход $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2n\lambda^n}{n!} = 2\lambda^2 \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}$? Сравните например коэффициенты при $\lambda^2$ слева и справа.

[apt]

mihaild в сообщении #1549376 писал(а):

Что у вас за странный переход $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2n\lambda^n}{n!} = 2\lambda^2 \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}$? Сравните например коэффициенты при $\lambda^2$ слева и справа.

Там же ещё одна лямбда от раскрытия квадрата разности

$$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2n\lambda\lambda^n}{n!} = 2\lambda^2 \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}$$

[mihaild]

Да, пардон, я опечатался. Но вот в выписанном вами равенстве посмотрите на коэффициент при $\lambda^2$ слева (получается подстановкой $n = 1$) и справа.

[apt]

Вы, наверное, имеете в виду

$$ \frac{2\cdot 1\cdot\lambda\lambda^1}{1!} =2\lambda^2 \ne 2\lambda^2 \cdot \frac{\lambda^1}{1!}=2\lambda^3$$

Но у нас же $k=n-1$, т.е.

$$ \frac{2\cdot 1\cdot\lambda\lambda^1}{1!} =2\lambda^2 = 2\lambda^2 \cdot \frac{\lambda^{1-1}}{(1-1)!}=2\lambda^2$$

[mihaild]

Еще раз - какой справа коэффициент при $\lambda^2$ (так же известный как половина значения второй производной в нуле)? Просто честно напишите несколько первых членов суммы, будет видно.

[apt]

.........

$$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2n\lambda\lambda^n}{n!} = 2\lambda(\lambda+\lambda^2+\frac{\lambda^3}{2}+\frac{\lambda^4}{2\cdot3}+...)$$

$$2\lambda^2 \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}=2\lambda^2(\lambda+\frac{\lambda^2}{2}+\frac{\lambda^3}{2\cdot3}+\frac{\lambda^4}{2\cdot3\cdot4}+...)$$

[mihaild]

У вас в первом ряду лишняя единица появилась (при $n = 0$ в числителе $0$, в знаменателе $1$).
А после исправления окажется, что первый ряд начинается с $2\lambda^2$, а второй с $2\lambda^3$.

[apt]

mihaild в сообщении #1549382 писал(а):

У вас в первом ряду лишняя единица появилась (при $n = 0$ в числителе $0$, в знаменателе $1$).
А после исправления окажется, что первый ряд начинается с $2\lambda^2$, а второй с $2\lambda^3$.

Ой да, единица лишняя

Получается....нужно справа поставить коэффициент $2\lambda$? В конце всё равно не сокращается с лямбдами от первой суммы

[mihaild]

apt в сообщении #1549383 писал(а):

нужно справа поставить коэффициент $2\lambda$?

Нужно посчитать всё правильно, без ошибок и без факториалов отрицательных чисел. Для этого проще работать со слагаемыми по одному (на самом деле второе и третье слагаемое простым образом выражаются через мат. ожидание без необходимости заново суммировать ряды).

[apt]

Всё, решил, спасибо