Знак функции

[task+mind=trouble]

Здравствуйте, форумчане!
Не могу осилить следующую задачу:
Необходимо доказать, что $\ln(1+\sigma\cdot\frac{y}{x})+\sigma\cdot\ln(\sigma+\frac{x}{y})-(\sigma+1)\cdot\ln(\sigma+1)>0$
при условии, что $y>x>0; \sigma>0$.
Я в некотором ступоре. Вероятно задачу можно легко решить, но я не понимаю, как к ней подступиться. Посоветуйте пожалуйста, какие-нибудь методы...

[mihaild]

Попробуйте для начала рассмотреть частный случай, например $x = 1$, $y = 2$. Что получится?

[task+mind=trouble]

Прошу прощения - потерял одну сигму. При подстановке в исходное выражение действительно получится отрицательное число.
А если в исправленное, то:
Получится выражение $\ln(2\cdot\sigma+1)+ \sigma\cdot\ln(\sigma+\frac{1}{2}) - (\sigma+1)\cdot\ln(\sigma+1)$.
Его можно преобразовать к виду:
$\ln2 + (\sigma+1)\cdot\ln(\sigma+\frac{1}{2}) - (\sigma+1)\cdot\ln(\sigma+1)$.
А затем к виду:
$\ln2 + (\sigma+1)\cdot\ln(1-\frac{1}{2\cdot(\sigma+1)})$.
Предполагаемое неравенство: $(\sigma+1)\cdot\ln(1+\frac{1}{2\cdot(\sigma+\frac{1}{2})})<\ln2 $.
Поскольку натуральный логарифм возрастающая функция можно перейти к выражениям под скобками:
$(1+\frac{1}{2\cdot(\sigma+\frac{1}{2})})^{\sigma+1} < 2 $.
Для удобства переобозначим:
$\sigma+\frac{1}{2} = \xi; \xi>\frac{1}{2}$
Выйдет: $(1+\frac{1}{2\cdot\xi})^{\xi+\frac{1}{2}} < 2 $.
Судя по доказательству для второго замечательного предела отсюда https://ru.wikipedia.org/wiki/Замечательные_пределы данная функция $(1+\frac{1}{2\cdot\xi})^{\xi+\frac{1}{2}}$ возрастающая и ограниченная. Её пределом является $\lim\limits_{\xi\to+\infty}^{}(1+\frac{1}{2\cdot\xi})^{\xi\+\frac{1}{2}} = \sqrt{e} < 2$.
То есть доказали (вроде) для частного случая. Как обобщить?

[mihaild]

Всё так. А теперь что будет если провести те же рассуждения, но вместо фиксированных $x$ и $y$ подставить в исходное выражение $\frac{x}{y} = \alpha$?

[task+mind=trouble]

Попробуем.
Получится выражение $\ln(\frac{1}{\alpha}\cdot\sigma+1)+ \sigma\cdot\ln(\sigma+\alpha) - (\sigma+1)\cdot\ln(\sigma+1)$. И $\sigma>0; 0<\alpha<1$
Его можно преобразовать к виду:
$-\ln\alpha + (\sigma+1)\cdot\ln(\sigma+\alpha) - (\sigma+1)\cdot\ln(\sigma+1)$.
А затем к виду:
$-\ln\alpha + (\sigma+1)\cdot\ln(1+\frac{\alpha-1}{(\sigma+1)})$.
Предполагаемое неравенство: $(\sigma+1)\cdot\ln(1+\frac{\alpha-1}{(\sigma+1)})>\ln\alpha $.
Для удобства переобозначим:
$\sigma+1 = \xi; \xi>1$
Получим: $\xi\cdot\ln(1+\frac{\alpha-1}{\xi})>\ln\alpha $.
Рассмотрим функцию слева. Её производная равна $\ln(1+\frac{\alpha-1}{\xi})+\frac{1-\alpha}{\xi+\alpha-1}$. Из наложенных ограничений на переменные очевидно, что производная в заданных условиях будет положительна. Значит соответствующая функция возрастает на рассматриваемом участке. Тогда нам требуется лишь сравнить граничное значение при $\xi=1$.
Подставляем и получаем, что $\ln\alpha>\ln\alpha$.
То есть при граничном значении неравенство переходит в равенство, однако, поскольку функция строго возрастающая, на остальном рассматриваемом участке её значение должно превышать $\ln\alpha$.
То есть исходное неравенство выполняется.
Ч.т.д.? Или где-то ошибка?

[mihaild]

task+mind=trouble в сообщении #1549040 писал(а):

$\sigma+1 = \xi; \xi>1$

task+mind=trouble в сообщении #1549040 писал(а):

Тогда нам требуется лишь сравнить граничное значение при $\xi=1$.

У вас же ограничение: $\xi > 1$. $\xi = 1$ соответствует $\sigma = 0$ и при нём неравенство действительно не выполнено, но нас же спрашивали про $\sigma > 0$.

[task+mind=trouble]

Тогда так:
Обозначим $f(\xi)=\xi\cdot\ln(1+\frac{\alpha-1}{\xi})$
Поскольку функция $f(\xi)$ на рассматриваемом участке строго возрастающая, что следует из положительной производной, то при $\xi>1$ $f(\xi)>f(1)=\ln\alpha $.
То есть исходное неравенство выполняется.
Достаточно?