"Обрезающая функция" вида f(x,y)-f(kx,y/k)

[Gickle]

Немного предварительной лирики. Возьмём функцию $r(x)$ такую, что $r(x\to\infty) \to 0$ и $r(x\to0) \to \infty$. Например, $r(x) = 1/\left[\exp(x^a) - 1\right], \ a \geq 1$. Тогда функция

$$R(x,k) = \left\lvert\frac{1}{1 + r(x)} - \frac{1}{1 + r(k x)}\right\rvert, \quad k > 1$$

будет выглядеть примерно так (тут взято $k=6, a = 1$):

Полученную функцию $R(x,k)$ теперь можно использовать для "ослабления носителя" $f(x)$ путём умножения на $R(x,k)$: при малых $x$ имеем "подавление" полиномиальное, а при больших $x$ -- экспоненциальное. Ноги растут из физических нужд, где такой расклад устраивает. Заранее скажу, что я в курсе, что это не совсем то же самое, что в математике понимают под обрезающей функцией (потому и кавычки), но это самое близкое по смыслу понятие из математики, кооторое мне известно.

Возьмём теперь вторую переменную ($y$) и функцию $p$ от неё такую, что $p(y\to0) \to 1$ и $p(y\to\infty) \to 0$. Например, $p(y) = \exp(-y)$ (за этим выбором есть некоторые физические соображения). Тогда

$$P(y,k) = \left\lvert p(y) - p(y/k)\right\rvert, \quad k > 1$$

имеет слеюущий вид ($k=6$, как и выше):

То есть $P(y,k)$ опять же "обрезает" как малые, так и большие значения $y$.

Теперь вопрос: можно ли (и если можно, то как) подобным образом состряпать $f(x,y)$ так, чтобы $F(x,y,k) = |f(x,y) - f(kx,y/k)|$ была "обрезающей функцией" (ну или скорее семейством "обрезающих функций" с параметром $k > 1$): в том смысле, что $\forall y_0 \geq 0, k >1 \implies F(x_0,y,k) \to 0$ при $y \to 0$ или $y \to \infty$, ну и аналогично для $x$. В идеале ещё, чтобы $f$ была представима в виде некоторой комбинации $r$ и $p$, причём $f \xrightarrow[]{p\to1} r$ и $f \xrightarrow[]{r\to0} p$. Например, $f(x,y) = p(y)/[1 + r(x)]$ подходит по всем параметрам, вот только, разумеется, $|f(x,y) - f(kx,y/k)|$ не будет при этом "обрезающей функцией". С другой стороны, $F(x,y,k) = R(x,k) P(y,k)$ является "обрезающей функцией" (см. для наглядности график снизу), но не имеет вид $f(x,y) - f(kx,y/k)$.

Ответ, вероятно, очевидный, но что-то я уже который день торможу и не могу ничего подходящего состряпать (ну или увидеть причину, по которой это невозможно).