Почему e это e?

[krow7]

Доброго времени суток, форумчане!

Недавно задался вопросом: почему $e$ это все-таки $e$? Вот что я имею ввиду под этим вопросом.

С одной стороны, существует второй замечательный предел:
$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$
Т.е. предел такой последовательности существует и равен некоторому числу. Его назвали $e$.

С другой стороны, есть следующее дифференциальное уравнение:
$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{x} &=& x\\ x(0) &=& 1 \\ \end{array} \right.$
Пусть $\tilde{x}$ - решение данного уравнения. Тогда $\tilde{x}(1) = e$.

Откуда следует, что первое $e$ - это второе $e$? Теоретически эти два утверждения не связаны, и возможно эти константы не равны. Каким образом можно доказать или проверить, что это действительно одно и то же число?

[zykov]

krow7 в сообщении #1548387 писал(а):

С другой стороны, есть следующее дифференциальное уравнение:

Тут обычно не с дифура начинают, а с интеграла: $\int_1^e \frac{dx}{x} = 1$, т.к. неопределённый интеграл даёт натуральный логарифм.

То что такой интеграл даёт логарифм - легко видно: $\ln(a \cdot b) = \ln a + \ln b$. Вопрос только в основании логарифма.
Что до выражения под пределом, то берем его логарифм, будет $\ln \left(1 + \frac 1n\right)^n = n\ln\left(1 + \frac 1n\right) \approx n \cdot \frac 1n$.

А сам дифур сводится к этому интегралу разделением переменных: $\frac{dx}{dt}=x$ даёт $\frac{dx}{x}=dt$.

[Mikhail_K]

zykov в сообщении #1548388 писал(а):

Тут обычно не с дифура начинают, а с интеграла: $\int_0^e \frac{dx}{x} = 1$

Здесь что-то не так.

krow7 в сообщении #1548387 писал(а):

Откуда следует, что первое $e$ - это второе $e$?

См. любой учебник по мат.анализу. Обычно вначале $e$ определяется (в главе про пределы) как второй замечательный предел $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$, а в главе про производную доказывается, что $(a^x)^\prime=a^x \ln a$, где $\ln$ - логарифм по этому самому основанию $e$, и, в частности, $(e^x)^\prime=e^x$. Это, фактически, и есть второе Ваше определение.

[zykov]

Mikhail_K
исправил, спасибо

[krow7]

Mikhail_K

Спасибо, прогуглил доказательство формулы вычисления производной показательной функции и смекнул, в чем дело.

[Евгений Машеров]

krow7 в сообщении #1548387 писал(а):

Откуда следует, что первое $e$ - это второе $e$? Теоретически эти два утверждения не связаны, и возможно эти константы не равны. Каким образом можно доказать или проверить, что это действительно одно и то же число?

"Рабоче-крестьянский ответ".
Решаем уравнение $y'=y$ методом Эйлера, разбив отрезок на n частей. Устремляем n к бесконечности...

[Joyce]

krow7 в сообщении #1548387 писал(а):

Откуда следует, что первое $e$ - это второе $e$?

Решение задачи Коши $y'-y=0$, $y(0)=1$ можно искать в виде степенного ряда $\sum\limits_{k=0}^\infty c_k z^k$. Не сложно показать, что $exp(z):=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$ является решением. После чего достаточно доказать неравенства $exp(1)\leqslant \varliminf\limits_{n\to\infty} x_n $ и $\varlimsup\limits_{n\to\infty} x_n\leqslant exp(1)$, где $x_n:=\left(1+\frac1{n}\right)^n$.

[мат-ламер]

У Локуциевского Л.В. (кафедра диффуров мехмата МГУ) увидел в файле "Теоретические задания по курсу ОДУ" (который он выложил на сайте кафедры) вопрос под номером 17:
Корректно ли следующее определение числа $e$ : "Числом $e$ называется значение решения уравнения $x'(t)=x(t)$ с начальным условием $x(0)=1$ в момент времени $t=1$ , т.е. $e=x(1)$"?

Интересно в чём тут засада (если она есть)? Вообще преподаватель волен вводить определения, как он хочет. Другое дело, насколько это удобно?

[zykov]

мат-ламер в сообщении #1548741 писал(а):

"Числом $e$ называется значение решения уравнения $x'(t)=x(t)$ с начальным условием $x(0)=1$ в момент времени $t=1$ , т.е. $e=x(1)$"?

Проблем не вижу.
Выше писал:

zykov в сообщении #1548388 писал(а):

дифур сводится к этому интегралу разделением переменных: $\frac{dx}{dt}=x$ даёт $\frac{dx}{x}=dt$.