Разрешение апории (не Зенона)

[krow7]

Всем привет!

Вспомнил с универских лет следующую задачку и уже второй день не могу выкинуть из головы

Цитата:

Дана окружность с радиусом $R = 1$. Окружность вписана в квадрат. Обозначим имеющиеся параметры:
$R = 1$ - радиус окружности
$C = 2\pi R = 2\pi$ - длина окружности
$S = \pi R^2 = \pi$ - площадь круга
$P_0 = 4 \cdot (2 R) = 8$ - периметр квадрата
$S_0 = (2 R)^2 = 4$ - площадь квадрата
Затем будет отрезать от квадрата маленькие прямоугольники, которые касаются окружности. Очевидно, что площадь квадрата будет уменьшаться, причем периметр будет сохраняться, т.е.
$S_n > S_{n+1}$
$P_n = P_{n+1} = 8$
Если рассмотреть указанные выше последовательности площадей и периметров, то видим, что первая последовательность ограничена снизу площадью круга (т.к. при отрезании мы никогда не "залезаем" на окружность). И к тому же эта последовательность монотонно убывает. По теореме Вейерштрасса из матанализа получаем, что предел последовательности существует. С последовательностью периметров все проще: тут одни константы.
Таким образом, в пределе получим некую фигуру с конкретным значением площади и периметра.

И вот здесь в истории утверждается, что предельная фигура будет являться этой окружностью, т.е.
$C = P_0 \Rightarrow 2\pi = 8 \Rightarrow \pi = 4 $

И как будто бы математики - дураки, число $\pi$ неверно посчитали

Я понимаю, что подвох в предельном переходе, т.е. фигура, которая получается в пределе не равна окружности. Но с другой стороны, если на шаге $N$ этих "урезаний" провести окружность, которая будет описывать наш "квадрат" таким образом, чтобы она касалась нашего "квадрата", то мы всегда можем еще немного его "подкромсать" со всех сторон, чтобы описать еще более мелкой окружностью, т.е. что-то вроде "для любого эпсилон больше нуля..." можем максимально близко подобраться к окружности. Я веду к тому, что если мы можем максимально близко подводить наш "квадрат" к окружности, то как математически правильно доказать неверность этого утверждения?

Я вдобавок вспомнил, что окружность по сути является последовательностью правильных вписанных многоугольников, и в этом случае последовательность многоугольников действительно сходится к окружности. Может быть, дело в способе "касания" окружности: в случае выше "касание" происходит вершиной, т.е. "острой частью", а в последовательности многоугольников - стороной, т.е. "гладкой частью". Тут дифференцируемость наверно каким-то образом завязана, и в примере выше в пределе получается такой "ежик", который мало где дифференцируем?

[eugensk]

Длина ломаной стремится к длине кривой если все точки ломаной лежат на этой кривой. А если этого нет, может быть что угодно.

[mihaild]

krow7 в сообщении #1548375 писал(а):

Я веду к тому, что если мы можем максимально близко подводить наш "квадрат" к окружности, то как математически правильно доказать неверность этого утверждения?

Доказать - очень просто, получилось что $\pi = 4$, а известно, что это не так:) Видимо, вы хотели спросить, где конкретно ошибка.
Ошибка либо в утверждении "фигура в пределе является окружностью", либо в переходе "если предел последовательности фигур равен окружности, то предел последовательности периметров этих фигур равен периметру окружности".

krow7 в сообщении #1548375 писал(а):

Тут дифференцируемость наверно каким-то образом завязана, и в примере выше в пределе получается такой "ежик", который мало где дифференцируем?

Да, тут важны производные. Но не просто их наличие, а чуть веселее. Если у нас есть последовательность кривых $x_n$ и еще одна кривая $y$, такая что не только $x_n$ сходится к $y$ (поточечно), но и $x_n'$ равномерно сходится к $y'$ (как происходит например при приблежении окружности многоугольниками - там направление каждой стороны многоугольника почти совпадает с направлением дуги) - то и последовательность длин $x_n$ сходилась бы к длине $y$.
В нашем же случае направления у сторон всегда параллельны осям, что совсем не похоже на направления в большей части точек окружности.

Кстати проще аналогичный фокус провернуть на диагонали квадрата и доказать что $\sqrt{2} = 2$.

[krow7]

mihaild

Большое спасибо за разъяснения, туман в голове стал рассеиваться
Не подскажете, по какой фразе можно прогуглить тему сходимости последовательностей кривых, чтобы почитать про это? Есть ли какие-то критерии сходимости кривых, и какие требования предъявляются (пример выше показывает, что поточечной сходимости явно не достаточно)?

[mihaild]

krow7 в сообщении #1548384 писал(а):

Не подскажете, по какой фразе можно прогуглить тему сходимости последовательностей кривых, чтобы почитать про это?

Прямо в таком виде навскидку не знаю. Но всё нужное легко получается совмещением определения длины пути (есть в первом томе Зорича в приложениях интеграла) и понятия равномерной сходимости (есть во втором томе Зорича).

[krow7]

mihaild

Спасибо за помощь, буду исследовать вопрос.

[Markus228]

eugensk в сообщении #1548378 писал(а):

Длина ломаной стремится к длине кривой если все точки ломаной лежат на этой кривой. А если этого нет, может быть что угодно.

Что значит все точки? Все точки излома? Так для описанного многоугольника это не так
А по поводу поста ТС - для сходимости к периметру надо еще чтобы наклон стороны многоугольника стремился к наклону касательной, проведенной из любой точки, заключенной между соседними точками пересечения многоугольника с кривой.

[eugensk]

Markus228
Ну да, оговорка, я конечно же имел ввиду концы звеньев (вершины), в определении длины кривой участвуют именно такие ломаные.