Разрезать квадрат на квадраты

[marie-la]

Для какого наименьшего $n$ квадрат можно разрезать на $2n$ квадратов двух разных размеров: $n$ квадратов одного размера и $n$ квадратов другого размера?

Я умею резать на $9+9$ квадратов - в углу $3\times 3$ больших квадратов, и вокруг них $4+1+4$ меньших.
А вот доказать я могу очень приблизительно. Считаем сторону большого квадрата 1. Вдоль самого длинного отрезка больших квадратов внутри помещается целое число меньших. Поэтому отношение сторон квадратов рациональное $\frac{k}{m}>1$. При этом мы, очевидно, рассматриваем только $m\leq 8$. Сами стороны тоже рациональны, поскольку вдоль стороны квадрата со стороной 1 помещается целое число больших и целое число меньших сторон. Если сторона меньшего квадрата $a$, то получаем из площадей
$na^2(1+\frac{k^2}{m^2})=1$,
откуда $a=\frac{m}{\sqrt{n(k^2+m^2)}}$. Следовательно, $n(k^2+m^2)$ - полный квадрат. Ну и далее подбираем дроби с $m<k\leq8$, чтоб для $n\leq 8$ получился полный квадрат. Подходит только $k=1,m=2,n=5$. Немного порисовать - и ясно, что так не получится.
А нормальное решение тут есть?

[mihiv]

Можно уменьшить перебор.
На стороне длины 1 укладывается целое число $l$ сторон малого квадрата, поэтому $\dfrac 1{a^2}=\dfrac 1{l^2}=\dfrac {m^2}{n(m^2+k^2)}$. Числа $m,k$ взаимно простые , поэтому $m^2$ делит $n$. Число $n<9$ и может делиться только на $1^2$ или $2^2$, поэтому $m=1$ или $2$.

[marie-la]

mihiv
А почему вдоль стороны внешнего квадрата целое число малых укладывается? Мне очевидным не кажется.

[mihiv]

marie-la
Пусть $b>a$ сторона большего квадрата. Предположим, что на стороне 1 не укладывается целое число сторон $a$ малого квадрата. Тогда прямая, проведенная через любую точку квадрата параллельно его стороне, пересечет один или более квадратов со стороной $b$. Из $a^2+b^2=\dfrac 1n\eqno (1)$ следует $2b^2>\dfrac 1n, \dfrac 1b<\sqrt {2n}=\sqrt {2\cdot 8}=4$, то есть вдоль стороны 1 укладывается не более 3 больших квадратов. Пусть какие-то 2 из этих прямых пересекают разное число больших квадратов, так что $$m_1b+n_1a=1, m_2b+n_2a=1, (m_1>m_2)$. Отсюда $b=\dfrac {(n_2-n_1)}{m_1-m_2}$. Так как $m_i\leq 3$, то $c=m_1-m_2=1,2$.
Если $c=1$, то на стороне 1 целое число сторон $a$. Если $c=2$ и $d=n_2-n_1$-четное, то снова целое число $a$ на стороне 1.
В случае $c=2,d=2l+1, b=\dfrac {2l+1}2a.$ Из (1) получим $a^2=\dfrac {4}{n((2l+1)^2+4)}, 2l+1=n_2-n_1\leq 8-1, l\leq 3.$В знаменателе должен быть квадрат целого числа, что выполняется только для $n=5$.
Оставшийся вариант, когда каждая прямая, параллельная стороне 1 пересекает одинаковое число больших квадратов, при $n<9$ , как мне кажется, невозможен, но внимательно не смотрел.

[marie-la]

mihiv
Спасибо!