Алгебра, уравнения

[infantier]

Помогите, пожалуйста, решить задачу. Очень нужно!!!


Пусть дана система уравнений, где $f$ - некоторый произвольный полином от $p$ переменных. Поле алгебраически замкнутое (например $\mathbb {C}$ - комплексные числа).
$i_1<i_2<i_3<...<i_{p-1}<i_p$ - натуральные числа.

$$ \left\{ \begin{array}{lll} f(z_{i_1},z_{i_2},...,z_{i_p})=0 \\ f(z_{i_1+1},z_{i_2+1},...,z_{i_p+1})=0\\ f(z_{i_1+2},z_{i_2+2},...,z_{i_p+2})=0\\ ...............................................................................\\ f(z_{i_1+n},z_{i_2+n},...,z_{i_p+n})=0 .\\ \end{array} \right. $$

В системе $n+1$ уравнение, $i_p+n-i_1+1$ неизвестных. $n$ - произвольное натуральное число.

Верно ли, что эта система имеет решение над алгебраически замкнутым полем?

[bot]

Пусть все зэты равны, все уравнения превращаются в одно уравнения F(z)=0, где F полином над алг. замкн. полем F. Спрашивается верно или нет, что он имеет корень в F? Или я не понял вопрос?

[infantier]

Нет. Не всё так просто. Например, $f=z_1z_2-z_1z_3+1$,

[DM_13]

Если степень полинома $f(z_1, z_2, ..., z_p)$ больше нуля и если он существенно зависит от $z_p$, то можно положить $z_{i_1}=z_{i_2}=...=z_{i_{p - 1}} = 1$, в качестве $z_{i_p}$ можно взять корень $f(1,1,...,1,z)=0$. Так как первое уравнение не зависит от $z_{i_p + 1}$, то в качестве него можно взять корень $f(1,1,...,1,z_{i_p}, z) = 0$, не нарушая при этом первое равенство и т.д. до последнего уравнения.

Если полином не зависит существенно от $z_p$, то вместо $p$ нужно взять максимальный индекс переменной, входящей в полином со степенью выше нуля.

Получается, что если степень полинома больше нуля, то верно.

[infantier]

Если $f=z_1z_3-z_2z_3+1$, то Ваше предложение не верно.

[infantier]

Неужели, никто не знает, как решить эту задачу?

[infantier]

Как решить хотя бы вот такую систему над комплексными числами?

$$a_4^2a_3^2a_1-a_4^2a_2^2a_1+1=0$$

$$a_5^2a_4^2a_2-a_5^2a_3^2a_2+1=0$$

$$.......................................$$

$$a_n^2a_{n-1}^2a_{n-3}-a_{n}^2a_{n-2}^2a_{n-3}+1=0$$

Помогите решить пожалуйста! Очень важно. Ничего не получается!!!