Неожиданный вывод из теоремы Бэра

[artempalkin]

Продолжаю тянуть свой уровень функана. Читаю сейчас лекции Моисеева (бывший декан ВМК), мне нравится, он пропускает очевидные и не слишком сложные вещи, доказывает очень коротко, есть где подумать. Но иногда его выводы мне непонятны.

Например:

Цитата:

Теорема Бэра. Полное метрическое пространство - есть множество второй категории
(далее идет доказательство)
Пример. Из теоремы Бэра вытекает, что существует непрерывная на отрезке функция, не дифференцируемая ни в одной точке.

Никаких дальнейших пояснений он не дает (этим мне и нравятся его лекции, типа, думайте сами). Однако в этом случае сколько я ни пытаюсь выстроить логическую цепочку, не получается. Понятно, что речь идет о полном пространстве $C[a;b]$, но причем тут счетное объединение нигде не плотных множеств?

[novichok2018]

мне тоже интересно, не сталкивался. Может Евгений Иванович что-то перепутал с похожими задачами?

[mihaild]

Делается, но ИМХО весьма нетривиально, я не знаю как догадаться самостоятельно.
Идея в том, что если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке не слишком быстро меняется - т.е. все дифференцируемые в какой-то точке функции обладают свойством $\exists N \exists x_0 \forall h < \frac{1}{N}:\ \frac{| f(x_0 + h) - f(x_0)|}{h} < N$. А такие множества для каждого $N$ замкнуты (это легко) и нигде не плотны (а это сложнее - нужно слабо по супремум норме изменить функцию так, чтобы у неё во всех точках уклон стал больше $N$).

[artempalkin]

mihaild
То есть логика в том, что множество дифференцируемых функций в конкретной заданной точке - нигде не плотное в $C[a;b]$ множество?
А почему таких множеств счетное количество? Типа, потому что нам достаточно рассмотреть функции, которые дифференцируемы в рациональных точках?

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1547969 писал(а):

То есть логика в том, что множество дифференцируемых функций в конкретной заданной точке - нигде не плотное в $C[a;b]$ множество?

Это неправда (потому что можно, слабо меняя функцию в окрестности точки, сделать с ей производной в точке что угодно). Ну и в общем-то известный факт что полиномы плотны в $C[a, b]$, а они, конечно, всюду дифференцируемы.

Логика в том, что дифференцируемая функция обязательно на каком-то не слишком коротком отрезке (длины хотя бы $\frac{1}{N}$) не слишком быстро меняется (изменение не больше чем на $\delta$ меняет функцию не больше чем на $N\delta$). А вот такие функции для каждого конкретного $N$ уже действительно нигде не плотны.

[demolishka]

artempalkin в сообщении #1547969 писал(а):

множество дифференцируемых функций в конкретной заданной точке - нигде не плотное в $C[a;b]$ множество

Нет конечно. Множество бесконечно дифференцируемых функций плотно, а уж в одной точке дифференцируемых и подавно.

К точке при построении множества привязываться нельзя - потому что точек континуум, а мы хотим счетное множество. Да и использовать только лишь сухую дифференцируемость - плохо, так как будет всюду плотность. Поэтому надо как-то ограничить изменение функций, чтобы получить нигде не плотное множество. Здесь помогает то, что дифференцируемая в точке $x$ функция будет липшицевой относительно этой точки: $|f(y)-f(x)| \leq N |y-x|$ при некотором $N$ для всех $y \in [0,1]$. Вот $N$ определяет семейство, а $x$ может уже зависеть от функции. А дальше заметить, что такими функциями нельзя приблизить достаточно быстро осциллирующую "пилу".

Подробнее посмотрите тут.

Отсюда следует существование не только одной нигде не дифференцируемой функции, но и то, что имеется плотное множество типа $G_{\delta}$ (счетное пересечение открытых) из таких функций. Это говорит о том, что в топологическом смысле такие функции типичны. То есть, взяв наугад непрерывную функцию, скорей наткнешься на нигде не дифференцируемую, чем на какую-нибудь хорошую типа синуса.

Множество нигде не дифференцируемых функций, кстати, является типичным и в смысле меры (см. Proposition 4 тут). Но бывает и так, что множество типично в топологическом смысле, но редко (меры нуль) в смысле меры - например, лиувиллевы числа (и их дополнение - диофантовы числа - наоборот, редки в топологическом смысле, и имеют полную меру Лебега).

[novichok2018]

Я почему упомянул, что возможно перепутал. Есть другая задача: доказать, что если для функции в каждой точке отрезка все производные с некоторого порядка зануляются, то это многочлен. Основное, что порядки разные для разных точек отрезка, любые. На самом деле получается, что с некоторого порядка зануляются во всех точках - многочлен. Тут решение точно использует теорему Бэра, хотя до конца решение я и тут не умею доводить. (из теоремы Бэра следует, что на каждом отрезке есть непустой подотрезок, где функция многочлен - вроде не больше этого. Как потом склеить эти все подотрезки- я не знаю, буду благодарен, кто расскажет). Простое решение получается, если в начале предположить дополнительно, что функция аналитическая на отрезке.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1547972 писал(а):

Ну и в общем-то известный факт что полиномы плотны в $C[a, b]$, а они, конечно, всюду дифференцируемы.

Да, конечно, тут я не вдумался.

demolishka в сообщении #1547973 писал(а):

Подробнее посмотрите тут

Спасибо, логика понятна, постараюсь разобраться в деталях доказательства!

demolishka в сообщении #1547973 писал(а):

Множество нигде не дифференцируемых функций, кстати, является типичным и в смысле меры

Как задавать меру на $C[a;b]$ я что-то пока не знаю...

[demolishka]

artempalkin в сообщении #1547980 писал(а):

Как задавать меру на $C[a;b]$ я что-то пока не знаю...

В приведенной статье все делается, но это я привел для общего ознакомления. Скажу лишь идею. Нам надо ввести понятие множества меры нуль для подмножеств $S$ в бесконечномерном пространстве $E$. Естественный подход - нарезать множество сдвигами конечномерного подпространства $L$. Если каждый срез $(S+v) \cap L, v \in E$ имеет нулевую меру (в смысле меры Лебега на $L$), то будем говорить, что и $S$ имеет меру нуль относительно меры Лебега на $L$. Для теории можно рассмотреть абстрактную меру в $E$ с компактным носителем конечной меры, но в приложениях обычно ищется подходящее подпространство $L$ с мерой Лебега. Вот для задачи про нигде не дифференцируемые функции можно подобрать двумерное подпространство.

[gris]

(novichok2018)

novichok2018 в сообщении #1547978 писал(а):

Есть другая задача: доказать, что если для функции в каждой точке отрезка все производные с некоторого порядка зануляются, то это многочлен.

Мне кажется, что условие можно и интереснее сделать: Если в каждой точке хотя бы одна производная равна нулю.
Дальше, как вы сказали. Если нули непрерывной функции плотны на интервале, то она тождественно равна нулю. То есть если некоторая производная нашей функции плотна на некотором интервале, то там все последующие производные тождественно равны нулю и функция — многочлен. Ну дальше и Бэр. Ни на одном интервальчике нули производных не могут все быть нигде не плотными. Вы и сказали, что получаются кусочки многочленов. Но два разных многочлена не могут склеиться бесконечно дифференцируемо в одной точке. Получается, что есть интервал, где нет ни одного кусочка. Опять Бэр? Навскидку, а надо бы всё строго доказать. А не было идеи с конечным покрытием этими интервалами??

[artempalkin]

Да, почитал, подумал. В целом главная сложность в том, чтобы разбить множество всюду дифференцируемых функций на счетное количество частей по какому-то признаку. Дальше уже, мне кажется, велика вероятность, что относительно меры $C[a;b]$ (которая как бы чужда дифференцируемым функциям) они окажутся нигде не плотны.
Вполне может быть, что можно придумать признак попроще и поочевиднее представленного...

[krum]

В связи с этим интересно высказывание Лорана Шварца:

Цитата:

По-видимому, неверно и, во всяком случае, не очевидно, что $B-$почти всякая непрерывная функция нигде не дифференцируема.

Свойство выполнено $B-$почти всюду на множестве $X$, если подмножество $X$, где оно не выполнено, имеет первую категорию Бэра.