Что почитать про булевы алгебры для матлога

[xagiwo]

Хотел прочитать книгу Кусраев, Кутателадзе "Введение в булевозначный анализ", но споткнулся на главе 2 — "элементы теории булевых алгебр" — понятие булевой алгебры кажется мне совершенно немотивированным и сложным в обращении.

Я разве что слышал (и только), что булевы алгебры как-то связаны с частично упорядоченными множествами и с какими-то семантиками для урезанных версий исчисления высказываний.

В общем, ищу что-нибудь, что помогло бы разобраться в булевых алгебрах и их связях с мат.логикой

[xagiwo]

Ладно, другой вопрос: где найти логика, который бы мне на этот вопрос ответил?

[мат-ламер]

xagiwo
Я помню сильно давно читал книгу Р.Столл "Множества. Логика. Аксиоматические теории".

[eugensk]

(Я не логик, просто услышал знакомые слова). Открыл Сикорского Булевы алгебры, он отсылает к Расёва, Сикорский Математика метаматематики, может быть, там?

[Someone]

xagiwo в сообщении #1547686 писал(а):

понятие булевой алгебры кажется мне совершенно немотивированным и сложным в обращении.

По-моему, как раз наоборот: булевы алгебры совершенно естественно появляются и в теории множеств, и в логике.
Р. Сикорский. Булевы алгебры. "Мир", Москва, 1969.

xagiwo в сообщении #1547686 писал(а):

слышал (и только), что булевы алгебры как-то связаны с частично упорядоченными множествами

Г. Гретцер. Общая теория решёток. Москва, "Мир", 1982.

[xagiwo]

Someone, спасибо. А правда, что все равенства, содержащие $\cup,\; \cap,\; -,$ и верные в любом поле множеств, верны и в любой булевой алгебре (и, как следствие, аксиомы булевых алгебр можно не запоминать)?

[xagiwo]

xagiwo в сообщении #1547896 писал(а):

и, как следствие, аксиомы булевых алгебр можно не запоминать

Забудьте, как-нибудь запомню.

-- 04.02.2022, 13:43 --

xagiwo в сообщении #1547896 писал(а):

А правда, что все равенства, содержащие $\cup,\; \cap,\; -,$ и верные в любом поле множеств, верны и в любой булевой алгебре

Думаю, можно сделать так:
Возьмём булеву алгебру $\mathfrak{A}$ и определим для неё сигнатуру $\Sigma$ с функциональными символами $\cup, \cap, -,$ предикатными символами $=, \in$. В символы констант добавим: 1) все элементы из $\mathfrak{A}$ 2) для любого $A \in \mathfrak{A} \setminus \{\land\}$ добавим в символы констант имя $\underline{A}$ для будущего элемента $A$.

Далее построим множество формул $X$ сигнатуры $\Sigma$. Добавим в $X$: 1) все равенства, верные в $\mathfrak{A}$ 2) Для всякого $A \in \mathfrak{A} \setminus \{\land\}$ формулу $\underline{A} \in A$ 3) Для всех "имён элементов" $x$ и $A, B \in \mathfrak{A}$ добавим:

• $x \in (A \cup B) \Leftrightarrow x \in A \text{ или } x \in B$
• $x \in (A \cap B) \Leftrightarrow x \in A \text{ и } x \in B$
• $x \in -A \Leftrightarrow \text{не }x \in A$

Далее доказываем, что любая конечная часть этого множества разрешима, так что и само множество разрешимо и отсюда строим поле множеств, изоморфное $\mathfrak{A}$.