Определение уравнения-следствия в учебнике Никольского А-11

[statistonline]

Доброго дня всем!
Следующая цитата из учебника С.М. Никольского, Алгебра и начала матанализа-11 (Раздел "Уравнения-следствия")

Цитата:

Пусть даны два уравнения $f(x)=g(x)$ и $p(x)=\varphi(x)$. Если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называют следствием первого.
В частности, если первое уравнение не имеет корней, то любое второе уравнение является его следствием.

Можно ли, согласно данному определению, полагать, что уравнение $\sin(x)=1$ является следствием, допустим, уравнения $\left\lvert x \right\rvert=-1$?

[nnosipov]

statistonline в сообщении #1547640 писал(а):

Можно ли, согласно данному определению, полагать, что уравнение $\sin(x)=1$ является следствием, допустим, уравнения $\left\lvert x \right\rvert=-1$?

А как Вы думаете, утверждение "если $|x|=-1$, то $\sin{x}=1$" является верным?

[statistonline]

Очевидно, нет. Но разве здесь явно подразумевается импликация?

[nnosipov]

statistonline в сообщении #1547642 писал(а):

Но разве здесь явно подразумевается импликация?

Конечно, там же (в том тексте, что Вы привели) написано: если ..., то ...

[statistonline]

То есть при этом необязательно требовать, чтобы второе уравнение было получено из первого какими-то преобразованиями?

[iifat]

statistonline в сообщении #1547642 писал(а):

Очевидно, нет

Очевидно, да, вообще-то. Если речь идёт о действительных числах.

[nnosipov]

statistonline в сообщении #1547654 писал(а):

То есть при этом необязательно требовать, чтобы второе уравнение было получено из первого какими-то преобразованиями?

Да, необязательно. Кстати, такая же ситуация была бы и с понятием равносильных уравнений.

-- Ср фев 02, 2022 06:52:34 --

statistonline в сообщении #1547642 писал(а):

Очевидно, нет.

Я умудрился это прочитать как "очевидно, да"

[statistonline]

iifat в сообщении #1547672 писал(а):

Очевидно, да, вообще-то.

забыл таблицу истинности для импликации

[Mikhail_K]

statistonline в сообщении #1547654 писал(а):

То есть при этом необязательно требовать, чтобы второе уравнение было получено из первого какими-то преобразованиями?

Наоборот, понятия равносильности и следствия вводятся для того, чтобы после этого определить какие преобразования можно использовать при решении уравнений - те, которые всегда приводят к равносильным уравнениям или к уравнениям-следствиям (в последнем случае, могут появиться "лишние корни").

[xagiwo]

(Оффтоп)

statistonline в сообщении #1547640 писал(а):

уравнение $\sin(x)=1$ является следствием, допустим, уравнения $\left\lvert x \right\rvert=-1$

Пусть $|x| = -1$, т. е.

$$|x| + 1 = 0$$

Раз $|x| \geqslant 0$, то $|x| + 1 > 0$ и можно поделить обе части уравнения выше на $|x| + 1$ и получить

$$1 = 0$$

, откуда

$$\sin x = 1\cdot\sin x+ 0= 0\cdot\sin x+ 1 = 1$$

[statistonline]

Mikhail_K в сообщении #1547713 писал(а):

Наоборот, понятия равносильности и следствия вводятся для того, чтобы после этого определить какие преобразования можно использовать при решении уравнений

Это понятно, мне нужно было лишь уточнить момент про

nnosipov в сообщении #1547698 писал(а):

Да, необязательно. Кстати, такая же ситуация была бы и с понятием равносильных уравнений.

xagiwo в сообщении #1547715 писал(а):

Пусть $|x| = -1$, т. е.

$$|x| + 1 = 0$$

Раз $|x| \geqslant 0$, то $|x| + 1 > 0$

Здесь нет противоречия между уравнением ad hoc и свойством модуля? Дальнейшее вполне понятно.

[Mikhail_K]

statistonline в сообщении #1547775 писал(а):

Здесь нет противоречия между уравнением ad hoc и свойством модуля?

Даже если противоречие есть, мы не обязаны его замечать. Конечно, написав $|x|+1>0$, мы могли бы констатировать "Это противоречит тому, что $|x|+1=0$". Но можно и не констатировать, а сделать какой-то другой ход, как и было сделано здесь.

Вся математика была бы невозможна, если бы любое противоречие мы были обязаны констатировать в момент его появления. Представьте, вы пишете длинное-длинное рассуждение, например пробуете доказать что-то от противного. И 200-е из полученных вами утверждений противоречит 120-му. Если вы это заметили - отлично, теорема доказана. Но если не заметили, никто не запрещает вам писать следствия дальше - 201-е, 202-е, 203-е - может быть, до тех пор, пока противоречие совсем уж не бросится в глаза.

-- 02.02.2022, 21:47 --

И, к слову, нет никакого запрета делать какие-нибудь преобразования, равносильные или переходы к следствию, с ложными и даже заведомо ложными утверждениями и системами утверждений (в т.ч., содержащими внутреннее противоречие). Именно потому нет запрета, что это не всегда сразу видно, есть внутреннее противоречие или нет.

[statistonline]

Mikhail_K, благодарю за разъяснения