Следует ли сходимость последовательности

[literid]

Здравствуйте ! Есть задача:
Выяснить, вытекает или нет сходимость последовательности $x_n$ из условия, что для любого натурального $p$ существует предел $\lim_{n\to+\infty} (x_{n+p} - x_n) = 0$.

Мне почему-то показалось, что не вытекает, и я построил пример $x_n = \ln{n}$, который показывает это. Мне не нравится, что я к этому пришел почти случайно. Из каких рассуждений можно прийти к результату?

[Dan B-Yallay]

literid в сообщении #1547669 писал(а):

Из каких рассуждений можно прийти к результату?

Можно порассуждать о трагической судьбе гармонического ряда и о доказательстве его расходимости.

[literid]

Вот блин я его даже рассмотрел, когда выдумывал примеры, но как-то неаккуратно или невнимательно...

[Dan B-Yallay]

Но теперь понятно куда смотреть?

[literid]

Ну если $x_n$ - $n$-ая частичная сумма гармонического ряда, то $\forall \;p\; (x_{n+p} - x_n)$ это сумма конечного числа бесконечно малых, т.е. бесконечно малая, в то же время $x_n$ расходится. Я так понял Вы про это.

[Dan B-Yallay]

literid в сообщении #1547681 писал(а):

Я так понял Вы про это.

Да, про это, просто уточнял.

literid в сообщении #1547681 писал(а):

Ну если $x_n$ - $n$-ая частичная сумма гармонического ряда, то $\forall \;p\; (x_{n+p} - x_n)$ это сумма конечного числа бесконечно малых, т.е. бесконечно малая

Аргументация в целом верная, но нуждается в немного большей аккуратности.