Интеграл по единичной сфере

[George M]

Здравствуйте, столкнулся с двумя интересными задачами, которые в данный момент не могу решить. Очень был бы рад, если бы вы дали подсказки и намёки на то, какими методами пользоваться и в какое направление двигаться при их решении.

Первая задача: имеется шар радиуса $a$ и точка $R$ внутри этого шара $(|R| < a)$ Вычислить интеграл

$T\left(R\right)=\int_{r<a}^{ }\frac{d^{3}r}{\left|R-r\right|^{2}}$, $R$ и $r$ - вектора.

Вторая задача: найти интеграл по единичной сфере $\int_{ }^{ }dse^{ikr}$

[novichok2018]

Если я правильно помню, то есть формула общая для интеграла по единичной сфере от радиальной функции. Что то вроде Функа-Гекке называется. Есть в книге Самко/Килбас/Маричев по дробным делам.

[Red_Herring]

Выберите систему координат в которой $\mathbf{R}$ или $\mathbf{k}$ направлены по оси $z$

[novichok2018]

Если не использовать общих известных формул, то нужно к сферическим координатам переходить. Может быть можно в частных примерах и проще.

[GAA]

George M в сообщении #1547395 писал(а):

Вторая задача: найти интеграл по единичной сфере $\int_{ }^{ }dse^{ikr}$

Я что тут $k$ и $r$?
$k$ не может быть просто постоянной, а $r$ расстоянием от начала координат. Т.к. в этом случае подынтегральное выражение просто можно вынести за знак интеграла
$e^{ikr}\int ds = e^{ikr} S,$
где $S$ — площадь единичной сферы.

[George M]

Они выделены жирным в оригинале, значит, думаю, что вектора

[GAA]

Если же $k$ — вектор, $r$ — переменный вектор, проведенный из начала координат к точке сферы, то направляя ось $z$ вдоль вектора $k$ и выбирая сферическую систему координат с азимутальным углом, отсчитываемым от оси $z$, получим $e^{i|k|\cos \theta}$. Теперь записываем интеграл в сферической системе координат и легко вычисляем.

[lel0lel]

Выше удалил сообщение, не вгляделся в интеграл.

[George M]

Решил обе задачи, спасибо вам большое.