Расходящаяся последовательность

[literid]

Здравствуйте !
Помогите пожалуйста доказать следующее утверждение (задача 2 из учебника Кудрявцева, том 1).
Доказать что последовательность $x_n$ расходится тогда и только тогда, когда существует такое число $\varepsilon > 0$, что каково бы ни было действительное число $a$ и каков бы ни был номер $n$, найдется номер $m > n$, для которого выполняется неравенство $|x_m - a| \geqslant \varepsilon$.
Определение расходящейся последовательности:
Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся. Что эквивалентно $\forall a \in \mathbf{R} \; \exists \varepsilon > 0 \; \forall n \in \mathbf{N} \; \exists m > n : |x_m - a| \geqslant \varepsilon $.

В одну сторону я могу доказать (достаточность). Дано, что $\exists \varepsilon > 0 \; \forall a \in \mathbf{R} \; \forall n \in \mathbf{N} \; \exists m > n : |x_m - a| \geqslant \varepsilon $. Ясно что если существует такое $\varepsilon$ для всех $a$, то и для любого $a$ существует $\varepsilon$, что для любых $n \in \mathbf{N}$ найдется $m > n : |x_m - a | \geqslant \varepsilon$. Согласно определению, $x_n$ расходится.

Можете пожалуйста проверить это доказательство и подсказать, что делать со второй частью.

[mihaild]

Полнота вещественных чисел к этому моменту уже в каком-то виде ведь есть (без неё не получится)?

Рассмотрим два случая: $x_m$ ограничена и нет. Если ограничена - подставьте предельную точку в определение расходящейся последовательности и посмотрите, что получится.

[ozheredov]

literid в сообщении #1547383 писал(а):

Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.

Последовательность $1 0 1 0 1 0 ...$ расходящаяся?

[XeuTeP_KoLLIu]

ozheredov в сообщении #1547397 писал(а):

literid в сообщении #1547383 писал(а):

Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.

Последовательность $1 0 1 0 1 0 ...$ расходящаяся?

Да

[literid]

Была введена аксиома полноты действительных чисел, доказаны теорема о вложенных отрезках и теорема существования нижней и верхней граней у ограниченного множества. Определение предельной точки вводится позднее.
Пусть $x_n$ ограничена. Как я понял предельная точка последовательности - это такая точка, что существует подпоследовательность сходящаяся к ней. По теореме Вейерштрасса (в учебнике она доказывается позже) из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть $x_{n_k}$ подпоследовательность сходящаяся к $x_0$. Если подставить ее в определение расходимости получим, что существует $\varepsilon_0$, такое что для любого натурального $n$ найдется $m > n$, для которого выполняется $|x_m - x_0| \geqslant \varepsilon_0$. Ну то есть внутри $\varepsilon_0$ окрестности $x_0$ лежит бесконечно много элементов последовательности $x_n$ (все элементы подпоследовательности начиная с некторого $n_{k_0}$), и вне этой окрестности тоже бесконечно много элементов $x_n$. Что делать дальше не очень понимаю.

[mihaild]

literid в сообщении #1547405 писал(а):

Ну то есть внутри $\varepsilon_0$ окрестности $x_0$ лежит бесконечно много элементов последовательности $x_n$ (все элементы подпоследовательности начиная с некторого $n_{k_0}$), и вне этой окрестности тоже бесконечно много элементов $x_n$.

Из того, что последовательность сходится, следует что бесконечно много элементов не только внутри $\varepsilon_0$-окрестности, но и внутри $\frac{\varepsilon_0}{2}$-окрестности. Итого у нас есть два бесконечных множества членов последовательности: одни все лежат на расстоянии не больше $\varepsilon_0 / 2$ от $x_0$, другие все лежат на расстоянии не меньше чем $\varepsilon_0$. Можете ли вы теперь подобрать $\varepsilon$ так, чтобы ни у какой точки в $\varepsilon$-окрестности не могли лежать одновременно элементы первого и второго множеств?

[literid]

Можно выбрать $\varepsilon = \frac{\varepsilon_0}{4}$, тогда для любой точки действительной прямой вне такой $\varepsilon$ окрестности найдутся члены последовательности со сколь угодно большими номерами. Осталось разобраться со случаем неограниченной последовательности.

[mihaild]

literid в сообщении #1547461 писал(а):

Можно выбрать $\varepsilon = \frac{\varepsilon_0}{4}$, тогда для любой точки действительной прямой вне такой $\varepsilon$ окрестности найдутся члены последовательности со сколь угодно большими номерами.

Да, так (это почти очевидно, но ИМХО всё равно нуждается в доказательстве).

literid в сообщении #1547461 писал(а):

Осталось разобраться со случаем неограниченной последовательности

А там всё еще проще. Возьмите какое-нибудь $\varepsilon$, предположите, что оно не подходит, и посмотрите, что получится.

[literid]

$\varepsilon$ выбрано так, что ни у какой точки в $\varepsilon$ окрестности не лежали одновременно первого и второго множеств. Значит вне $\varepsilon$ окрестности лежат все элементы хотя бы одного из этих множеств, ну а в каждом из этих множеств бесконечно много элементов последовательности.

-- 30.01.2022, 13:58 --

Рассмотрим случай, когда $x_n$ неограничена. Пусть утверждение неверно. Для $\varepsilon = 1$ найдется число $a$ и номер $n_0$, что для всех $n > n_0$ выполняется $|x_n - a| < \varepsilon$. Тогда для всех $n > n_0$ выполняется $|x_n| < |a| + 1$. Значит $|x_n| < \max{(|x_1|, \ldots, |x_{n_0}|,|a|+1)}$. Получили противоречие с неограниченностью. Значит утверждение верно.
Кажется верно, если так, то спасибо за помощь !

[mihaild]

Да, всё так.
Мне правда получающееся рассуждение не нравится. Для случая ограниченной можно было бы вместо рассуждений о предельной точки сразу взять у каждой точки окрестность, вне которой бесконечное число элементов последовательности и воспользоваться компактностью, но тоже некрасиво как-то.

[xagiwo]

Мне кажется, проще всего воспользоваться критерием Коши.