Помогите сформулировать постановку, чтобы успешно решить

[ilghiz]

Добрый день,

"хочу, того, не знаю чего".

Мне надобно найти набор непрерывных периодических функций

$$|f_i(x)| \le 1, ~ |f_i'(x)|\le 1, ~ x\in[0,2\pi], i=1, \dots, n, ~ f_i(0)=f_i(2\pi)$$

таких, что для них существует набор коэффициентов $\alpha_i$, что

$$\sum_i \alpha_i f_i(x) = \sin(q x)$$

где $q$ - какое-то заданное целое неотрицательное число (оно обычно лежит в диапазоне между $n$ и $n^2$) и для этого значения $q$ достигается

$$\min_{f_1(x), \dots, f_n(x), ~ \alpha_1, \dots, \alpha_n} \sum_i |\alpha_i|,$$

либо

$$\min_{f_1(x), \dots, f_n(x), ~ \alpha_1, \dots, \alpha_n} \max_i |\alpha_i|,$$

То есть я хочу найти функции, у которых и сами значения и первые производные не выше чем у $\sin(x)$, а их какая-то линейная комбинация осциллирует в $q$ раз чаще, чем $\sin(x)$, и коэффициенты этой линейной комбинации минимальны.

Вижу несколько подходов, но ни один не нравиться:

1. дискретизовать эти функции, сформулировать функцию для минимизации и выписать штрафные функции и попробовать найти численно решение, но как-то криво все это и боюсь, что сходиться все будет плохо.

2. представить каждую исходную функцию в виде линейной комбинации синусов и косинусов для $x, 2x, \dots, qx$, а может и большего числа, и минимизировать уже по коэффициентам такой линейной комбинации, но, боюсь, что результат будет такой же непредсказуемый.

Посоветуйте, пожалуйста, как можно это переформулировать, чтобы такая постановка лучше решалась? Возможно такая задача в правильной формулировке давно-давно известна и у нее есть красивое решение.

Спасибо!

[Padawan]

Минимум для $\sum\limits_{i}|\alpha_i|$ равен $|q|$ и достигается, например, при $\alpha_1=q$, $\alpha_2=\ldots=\alpha_n=0$, $f_1(x)=\frac 1q\sin qx$, $f_2(x),\ldots, f_n(x)$ -- произвольные.
(меньше, чем $|q|$ сделать нельзя в силу условия $|f'_i(x)|\leqslant 1$, а $(\sin qx)'=q\cos qx$ принимает значение $q$ в некоторых точках)
Аналогично для $\max\limits_i |\alpha_i|$ минимум равен $\frac {|q|}n$, достигается при $\alpha_i=\frac{q}{n}$, $f_i(x)=\frac1q\sin qx$ для всех $i=1,\ldots, n$. (меньше сделать нельзя по тем же причинам)

Так что думайте над постановкой.

[ilghiz]

Спасибо большое, Padawan,

да, похоже, с постановкой у меня не все хорошо, кажется на $f(x)$ мне надо добавить еще дополнительные условия, но я их еще не сформулировал.

[bot]

(Оффтоп)

ilghiz в сообщении #1547317 писал(а):

да, похоже, с постановкой у меня не все хорошо

Режиссура что-ли хромает?