Решение трансцендентного уравнения

[Maxim Avdeev]

Какие способы можно применить для решения уравнения подобного типа: $\tanh\left(ax\right)=arctgx$ . Предположим, если $a>>2$ или $a\to1$?

Я думаю, что можно было бы пользовать методом Ньютона, но хочется отыскать что-то сопряженное с вводом малого параметра, разложений и т.п. Какие способы знаете вы и можете посоветовать?

[zykov]

Maxim Avdeev в сообщении #1547117 писал(а):

если $a \gg 2$

тут $\tanh(ax) \approx 1$, значит $x_0 = \tg 1$.
Дальше можно при желании следующие поправки посчитать.
$x_1 = \tg \tanh(a x_0)$, $x_2 = \tg \tanh(a x_1)$ и т.д.

Maxim Avdeev в сообщении #1547117 писал(а):

или $a\to1$?

Тут можно разложить в ряд и решить.
Например $\operatorname{atanh} \arctg x = x+\frac{x^5}{15}-\frac{x^7}{45}+\frac{64 x^9}{2835}-\frac{71 x^{11}}{4725}+...$.
Тут $x_0 = 0$.
Потом $(a-1)x_1=\frac{x_1^5}{15}$, значит $x_1=\sqrt[4]{15(a-1)}$.
Потом $(a-1)x_2=\frac{x_2^5}{15}-\frac{x_2^7}{45}$.
И т.д.

[zykov]

При $a \to 1$ можно положить $y=\sqrt[4]{15(a-1)}$, тогда начало разложения будет $x=y+\frac{{{y}^{3}}}{12}-\frac{323 {{y}^{5}}}{6048}-\frac{1937 {{y}^{7}}}{362880}+...$.