Равенство треугольников по сумме катетов и гипотенузе (7кл)

[someniatko]

Изначально решал такую задачу ("со звёздочкой") из учебника за 7 класс: даны отрезки $m$ и $c$, построить треугольник с суммой катетов $m$ и гипотенузой $c$.

Задачу решил так:
1. Строим отрезок $AD = m$, окружность с центром $A$ радиуса $c$, $\angle ADL = 45 \textdegree$ в произвольной полуплоскости относительно $AD$.
2. Рассмотрим три варианта:
а) луч $DL$ не пересекается с окружностью. Тогда решений нет (скользкий момент, это доказать бы неплохо, но подозреваю, что в арсенале геометрии 7 класса методов нет. Догадываюсь, что это происходит в случае, если $m > \sqrt{2} c$, что соответствует равнобедренному прямоугольному треугольнику, когда отношение суммы длин катетов к гипотенузе максимально)
б) луч $DL$ имеет одну общую точку, пусть $B$, с окружностью. Тогда опустим перпендикуляр $BC$ на $AD$. $\triangle DBC$ равнобедренный (т.к. углы по $45 \textdegree$), посему $AC + CB = AC + CD = m$, $AB = c$ по построению, поэтому $\triangle ABC$ искомый.
в) луч $DL$ пересекает окружность в двух точках $B_{1}$ и $B_{2}$. Тогда возникает два треугольника, можно доказать что оба из них искомые, и что важно, можно доказать что они оказываются равны.

Вот как раз на варианте в) я и задумался. Во-первых доказать их равенство было не слишком-то тривиально, пришлось сделать несколько доп. построений. Во-вторых, мы построили какое-то решение (возможно, автор предполагал ограничиться именно этим), но ведь это не гарантирует отсутствие других решений (возможно, построенных как-то по-другому). Я подумал, что легче всего будет доказать просто равенство двух прямоугольных треугольников с данными вводными. Это бы избавило от необходимости доказательства на конкретном рисунке в варианте в), а также бы гарантировало что других решений действительно нет.

Но здесь я немного застрял и прошу о помощи :)
Итак, как же доказать равенство прямоугольных треугольников по сумме катетов и гипотенузе?

[zykov]

Пусть катет имеет длину $x$.
Тогда $c^2=x^2+(m-x)^2$.
Квадратное уравнение имеет 0, 1 или 2 корня.
Если корня два, то либо катеты $x_1$ и $m-x_1$, либо катеты $m-x_1$ и $x_1$. Т.е. это один и тот же треугольник.

[someniatko]

Спасибо!

Интересно, можно ли это доказать методами именно 7 класса, т.е.
а) без квадратных уравнений (т.к. их проходят в 8 классе, как и понятие квадратного корня)
б) без теоремы Пифагора (её тоже в 8 классе проходят)

[Otta]

А что вы знаете? какие темы уже были?

[someniatko]

- Точки, прямые (перпендикулярность, параллельность), лучи, отрезки, углы (смежные, вертикальные).
- Треугольники: 3 признака равенства, понятие биссектрисы, медианы, высоты, равнобедренные (признаки и свойства) и правильные треугольники.
- Признаки и свойства параллельности прямых, 5 постулат Евклида, сумма углов тр-ка, неравенство треугольника, свойства и признаки прямоугольного треугольника (а именно про катет, равный половине гипотенузы, что он лежит против угла $30 \textdegree$ и медиану равную половине гипотенузы)
- Понятие ГМТ, окружность (и круг), некоторые её свойства (диаметр, перпендикулярный к хорде, делит её пополам, радиус перпендикулярен к касательной, отрезки касательных, проведённых с одной точки равны), свойства описанной, вписанной, вневписанной в треугольник окружностей, построения циркулем и линейкой.

Сейчас как раз добиваю последние задачи из последнего раздела на построения циркулем и линейкой. Некоторые из них, при должном исследовании всех случаев (например, построить треугольник по стороне, высоте проведённой к этой стороне и радиусу описанной окружности), превращаются в далеко не тривиальные, как для 7-классника.

Вообще я, конечно, знаю больше (всё же 24 года мне), но стараюсь "по честному" проходить курс, используя только данные в нём знания.

[TOTAL]

Строим квадрат1 (сторона - заданная сумма катетов)
Строим квадрат2 (сторона - заданная гипотенуза)

Из центра квадрата1 проводим окружность диаметром равным диагонали квадрата2.

[someniatko]

Господа, сообразил как это можно сделать без теоремы Пифагора. Доказательство получилось наверное даже сложнее чем доказательство самой теоремы Пифагора, зато как говорится, challenge accepted.

1. Предполагаем что два треугольника имеют равные суммы катетов и гипотенузу и при этом не равны друг другу. Значит, у них не могут быть все стороны равны, т.к. 3й признак равенства треугольников. Значит, у них отличаются катеты, а в частности наибольшие из них. Пусть $b_1$ — наибольший катет первого треугольника, $b_2$ — второго, и для определённости, $b_1 < b_2$.
2. Рисуем отрезок $AM$, равный сумме катетов каждого треугольника. Отмечаем на нем такие точки $C_1$ и $C_2$, что $AC_1 = b_1$, $AC_2 = b_2$. В одной полуплоскости откладываем прямоугольный треугольник $AB_{1}C_{1}$, в другой — $AB_{2}C_{2}$ (на соотв. $AC_1$ и $AC_2$ как на катетах), равные исходным.
3. Дорисовываем отрезки $MB_1$, $MB_2$. Получаются равнобедренные прямоугольные треугольники $MB_1C_1$, $MB_2C_2$.
4. Ключевой момент: продлеваем $B_2C_2$ до пересечения с $MB_1$ в точке $K$. $KC_2 \perp AM$ и $B_1C_1 \perp AM \implies KC_2 \| B_1C_1 \implies \angle MKC_2 = \angle MB_1C_1 = 45 \textdegree$. Из чего $\triangle AB_2K$ — равнобедренный, $AB_2 = AK$. По условию, $AB_1 = AB_2$ как равные гипотенузы, значит $\triangle AB_1K$ — равнобедренный (!).
5. Вспоминаем, что мы взяли $AC_1$ наибольшим катетом (или как минимум равным второму) треугольника $AC_1B_1$, следовательно $\angle AB_1C_1 \geqslant 90 \textdegree : 2 = 45 \textdegree$, а значит, *переводит дыхание*, $\angle AB_1K \geqslant 45 \textdegree + 45 \textdegree = 90 \textdegree$. Получили равнобедренный треугольник $AB_1K$, в котором угол при основании больше либо равен $90 \textdegree$. Противоречие с суммой углов треугольника, победа.



Наконец-то доказательство, которое под силу любому семикласснику!

P.S. подозреваю, что можно было сразу отложить оба треугольника в одной полуплоскости относительно $AM$, но переписывать уже лень.

[wrest]

someniatko в сообщении #1546400 писал(а):

Вспоминаем, что мы взяли $AC_1$ наибольшим катетом (или как минимум равным второму) треугольника $AC_1B_1$, следовательно $\angle AB_1C_1 \geqslant 90 \textdegree : 2 = 45 \textdegree$,

А то, что против бОльших сторон лежат бОльшие углы (теорема синусов), 7-классник знает?

[Sinoid]

wrest в сообщении #1546406 писал(а):

А то, что против бОльших сторон лежат бОльшие углы (теорема синусов), 7-классник знает?

Нет.

[xagiwo]

someniatko в сообщении #1546342 писал(а):

Во-вторых, мы построили какое-то решение (возможно, автор предполагал ограничиться именно этим), но ведь это не гарантирует отсутствие других решений

Это решается деланьем всего того же в обратную сторону. Есть треугольник $ABC$, продлеваем $AC$ за $C$ и отмечаем там $D$...

[someniatko]

wrest в сообщении #1546406 писал(а):

А то, что против бОльших сторон лежат бОльшие углы (теорема синусов), 7-классник знает?

Да, в моём учебнике есть доказательство, без этих ваших синусов:

Рассмотрим треугольник $ABC$, $AB > BC$. Докажем, что $\angle C > \angle A$.
1) отметим точку $M$ на отрезке $AB$ так, чтобы $BM = BC$ (это возможно, ведь $AB > BC$). Треугольник $MBC$ равнобедренный, следовательно $\angle BMC = \angle BCM$.
2) $\angle BMC > \angle A$ как внешний угол треугольника $AMC$. $\angle BCA > \angle BCM$. По цепочке: $\angle BCA > \angle BCM = \angle BMC > \angle A$.

[BVR]

Мне кажется, что Вы несколько усложняете процесс.

Цитата:

1. Строим отрезок $AD = m$, окружность с центром $A$ радиуса $c$, $\angle ADL = 45 \textdegree$ в произвольной полуплоскости относительно $AD$.

Если процесс построения несколько изменить: 1. строим угол $\angle ADL = 45 \textdegree$ с вершиной $D$; 2. На одной стороне откладываем отрезок $AD = m$; 3. А потом уже проводим окружность с центром $A$ и радиусом $c$. 4. Из точки пересечения опускаем перпендикуляр на $AD$.
Тогда упрощается исследование.
Если получаем две точки пересечения окружности с другой стороной, то получаем два решения. Как Вы правильно отметили, построенные треугольники равны. Доказательство их равенства получается по свойствам равнобедренного треугольника с боковыми сторонами, равными $c$. Вполне для уровня 7-го класса