Геометрическая вероятность - 2

[TOTAL]

ipgmvq в сообщении #1546192 писал(а):

TOTAL в сообщении #1546191 писал(а):

Каждая точка имеет равные права на любой участок окружности. Каждая точка располагается, не оглядываясь на расположения других точек.

Из этого следует, что длина дуги AB имеет равномерное распределение и никакое иное. Если бы оно имело иное распределение, то и вероятности были бы иными.

Равномерное распределение ни при чем. Точки равны между собой. Решите задачу для неравномерного распределения, получите тe же $1/3$

[Null]

TOTAL в сообщении #1546193 писал(а):

Равномерное распределение ни при чем. Точки равны между собой.

Они равны потому что распределение всех точек одинаковое.

[lel0lel]

Выглядит интересной задача о четырёх случайных точках в круге. Вопрос тот же. Понятно, что три точки это треугольник. Если четвертая внутри него, или в трёх внешних секторах, образуемых продолжением сторон и окружностью, то пересечений нет вовсе. Иначе пересечение в трети случаев как в задаче тс. Не очевидно как тут обойтись без интегрирования и возможно ли это. А так ищем площадь произвольного треугольника, ищем площадь секторов и интегрируем с равномерными плотностями

[ipgmvq]

TOTAL в сообщении #1546193 писал(а):

Равномерное распределение ни при чем. Точки равны между собой. Решите задачу для неравномерного распределения, получите тe же $1/3$

Null в сообщении #1546195 писал(а):

Они равны потому что распределение всех точек одинаковое.

Согласен.
Если взять четыре точки с одинаковой функцией плотности вероятности $f(x)$ (в т.ч. неравномерным распределением на интервале от 0 от $2\pi$) и одинаковой функцией распределения $F(x)$, то будет тот же результат.
Вероятность пересечения хорд будет:
$2(F(2\pi) - F(B))(F(B) - F(0)) = 2(1 - F(B))(F(B) - 0) = 2F(B) - 2F^{2}(B)$
Соответственно умножаем это на плотность вероятности точки B и интегрируем:
$2\int\limits_{0}^{2\pi}(F(B) - F^{2}(B))f(B)dB = 2\int\limits_{0}^{2\pi}F(B)f(B)dB - 2\int\limits_{0}^{2\pi}F^{2}(B)f(B)dB$
Подставляем
$u = F(B)$
и
$du = f(B)dB$
Получаем
$2\int\limits_{0}^{2\pi}u\cdot du - 2\int\limits_{0}^{2\pi}u^{2} \cdot du$ = u^{2} \Biggr|_{0}^{2\pi} - \frac{2}{3} u^{3} \Biggr|_{0}^{2\pi} = F^{2}(B) \Biggr|_{0}^{2\pi} - \frac{2}{3} F^{3}(B) \Biggr|_{0}^{2\pi} = 1^{2} - 0^{2} - \frac{2}{3} 1^{3} + \frac{2}{3} 0^{3} = \frac{1}{3}