Геометрическая вероятность - 2

[Gyros]

На окружности случайно выбраны четыре точки A, B, C, D. Какова вероятность, что хорды AB и CD пересекаются?
Рисунок:

(Оффтоп)

Событие $A$ - точка $D$ попадает на дугу $AB$;
Событие $B_i$ - точка $C$ попадает на малый элемент дуги $\Delta\omega_i$, где $\omega\in[0..2\pi]$
$P(A|B_i)=\frac{\varphi}{2\pi-\varphi}$ (отношение длин дуг), где $\varphi\in[0..\pi]$
$P(B_i)=?$
В итоге по ф-ле полной вероятности должно получиться что-то вроде
$P(AB)=\Sigma P(AB_i)=\Sigma P(A|B_i)P(B_i)=\int\limits_{0}^{\pi}(\frac{\varphi}{2\pi -\varphi})\cdot\frac{d\varphi}{2\pi}$ но это конечно не верно;

Численно смоделировал в Maple должно получиться $\approx$ 0.34
Но вот как аналитически вывести? Не подскажите идею.

[ipgmvq]

Gyros
я предложил бы уйти от окружности. Поставить на неё изначально в произвольное место точку A, и расматривать окружность от A до A как интервал на прямой от 0 до 1, где A стоит на нуле.
Дальше у нас на этот интервал выпадает B, которое имеет стандартное равномерное распределение с плотностью вероятности 1.
Дальше у нас для пересечения хорд C либо должно выпасти на отрезок до B с вероятностью $B$, а D на отрезок за B с вероятностью $1 - B$, либо C должно выпасти на отрезок за B с вероятностью $1 - B$, а D на отрезок до B с вероятностью $B$. Таким образом, вероятность того, что AB и CD пересекуться будет равна $B\cdot(1-B) + (1-B)\cdot B = 2B - 2B^{2}$
Но так как B — это случайная величина со стандартным равномерным распределением, мы интегрируем эту случайную функцию, помноженную на плотность вероятности B (т.е. на единицу), от 0 до 1
$\int\limits_{0}^{1}(2B - 2B^{2})dB = \frac{1}{3}$

[мат-ламер]

ipgmvq в сообщении #1546172 писал(а):

я предложил бы уйти от окружности.

Я бы предложил ограничиться квадратом. Какова вероятность, что два отрезка, которые соединяют вершины квадрата и не имеют общих концевых точек, пересекаются?

[ipgmvq]

мат-ламер в сообщении #1546176 писал(а):

Я бы предложил ограничиться квадратом.

Если Вы настаиваете, то так:
$\frac{B}{2\pi}(1 - \frac{B}{2\pi}) + (1 - \frac{B}{2\pi})\frac{B}{2\pi} = \frac{B}{\pi} - \frac{B^{2}}{2\pi^{2}}$
$\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{\frac{B}{\pi} - \frac{B^{2}}{2\pi^{2}}}{2\pi}dB = $\int\limits_{0}^{2\pi}(\frac{B}{2\pi^{2}} - \frac{B^{2}}{4\pi^{3}})dB = \frac{B^{2}}{4\pi^{2}} - \frac{B^{3}}{12\pi^{3}}\Biggr|_{0}^{2\pi} = \frac{1}{3}$

[Gyros]

мат-ламер
То есть так:

(Оффтоп)

И видно, что здесь одна возможность из трех, т.е. вероятность $\frac{1}{3}$

ipgmvq
Т.е. получается нормированный интервал, а не от $0$ до $2\pi$.
Поэтому и в ответе $\pi$ не будет.

Спасибо большое!

Но вообще приемы как-то искусственно выглядят, ушли мы от геометрии окружности.
Может все таки есть более лобовой, но честный подход с дугами окружности?

PS Решения подобных задач уже разбирал когда-то, но когда встает новая задача, то решения старых не помогают.
Вероятно это из-за того, что эти решения были получены не мной (я их лишь разбирал).

[мат-ламер]

Gyros в сообщении #1546180 писал(а):

мат-ламер
То есть так:
...
И видно, что здесь одна возможность из трех, т.е. вероятность $\frac{1}{3}$

Я надеюсь, что вы поняли намёк

мат-ламер в сообщении #1546176 писал(а):

Я бы предложил ограничиться квадратом.

Ответ для квадрата вы нашли правильно. Ровно такой ответ получится и для произвольной четвёрки различных точек на окружности. Чтобы получить ответ в задаче, надо проинтегрировать по всевозможным четвёркам на окружности. Но если для каждой четвёрки ответ $1 \slash 3$ , то ровно такой же ответ будет и для интеграла по всем четвёркам. Так что задача устная и не требует никаких вычислений.

[Gyros]

мат-ламер

Цитата:

Так что задача устная и не требует никаких вычислений

Я в шоке .
Только не понял почему в первом случае ipgmvq
интегрирует от 0 до 1, а во втором случае "квадрата" (кстати я его что-то не вижу) появляется от 0 до $2\pi$
Раз такие пределы интегрирования, это окружность. Где тут квадрат?

[ipgmvq]

Gyros в сообщении #1546182 писал(а):

а во втором случае "квадрата"

Это не для квадрата. Это я перестал уходить от окружности.
Переписываю честно, в лоб (для дуг и окружности)
Ставим на окружность изначально в произвольное место точку A. Расстояние от A до A соответсвенно $2\pi$.
Дальше у нас на эту окружность выпадает B, расстояние до которой по часовой стрелке от A имеет равномерное распределение с плотностью вероятности $\frac{1}{2\pi}$.
Дальше у нас для пересечения хорд либо C должно выпасти на дугу от A (по часовой стрелке) до B с вероятностью $\frac{AB}{2\pi}$, а D на дугу BA с вероятностью $\frac{1 - AB}{2\pi}$, либо C должно выпасти на дугу BA с вероятностью $\frac{1 - AB}{2\pi}$, а D на дугу AB с вероятностью $\frac{AB}{2\pi}$. Таким образом, вероятность того, что AB и CD пересекуться будет равна $\frac{AB}{2\pi}(1 - \frac{AB}{2\pi}) + (1 - \frac{AB}{2\pi})\frac{AB}{2\pi} = \frac{AB}{\pi} - \frac{AB^{2}}{2\pi^{2}}$
Но так как AB — это случайная величина с равномерным распределением, мы интегрируем эту случайную функцию, помноженную на плотность вероятности AB (т.е. на $\frac{1}{2\pi}$), от 0 до $2\pi$.
$\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{\frac{AB}{\pi} - \frac{AB^{2}}{2\pi^{2}}}{2\pi}dAB = $\int\limits_{0}^{2\pi}(\frac{AB}{2\pi^{2}} - \frac{AB^{2}}{4\pi^{3}})dAB = \frac{AB^{2}}{4\pi^{2}} - \frac{AB^{3}}{12\pi^{3}}\Biggr|_{0}^{2\pi} = \frac{1}{3}$

[Gyros]

ipgmvq
Спасибо!


А можно интерпретировать так:
$P(A|B_i)=\frac{AB}{\pi}-\frac{AB^2}{2\pi^2}$, где A - событие пересечения хорд,
$P(B_i)=\frac{\Delta AB_i}{2\pi}$, где событие, что попадаем в малый элемент дуги $\Delta AB_i$ (?);
А далее применяем формулу полной вероятности, т.е. приходим в пределе $\max\Delta AB_i \to 0$ к такому же как у вас интегралу.

[ipgmvq]

Gyros
Мне вообще не понятна стратегия, но кажется, что Вы хотите переоткрыть calculus.
Тут ведь у нас непрерывные, а не дискретные, случайные величины, поэтому эти введения и последующие сложения микроинтервалов для полной вероятности, мне кажется, как-то не очень.
Мы просто умножаем на функцию плотности вероятности и интегрируем. Вот.

[Евгений Машеров]

Ну, я бы тупо решал так: точка A может быть где угодно, важно расположение точек относительно её. Точка B делит окружность на две части, с длиной l и $2\pi-l$, $l\sim U(0,2\pi)$. Пересекутся хорды, либо если C попадёт на часть с длиной l, а D на другую, либо если D на часть с длиной l, а С на часть с длиной $2\pi-l$

[TOTAL]

Результат не зависит от того, равномерно ли распределение.
Я бы сначала бросил четыре точки, а потом дал им имена. Так получу $1/3$

[ipgmvq]

TOTAL в сообщении #1546189 писал(а):

Результат не зависит от того, равномерно ли распределение.
Я бы сначала бросил четыре точки, а потом дал им имена. Так получу $1/3$

Вы подсознательно исходите из того, что имеете право присвоить эти последовательности названий с одинаковой вероятностью
Откажитель от этого assumption, и жизнь станет сложнее

[TOTAL]

ipgmvq в сообщении #1546190 писал(а):

Вы подсознательно исходите из того, что имеете право присвоить эти последовательности названий с одинаковой вероятностью
Откажитель от этого assumption, и жизнь станет сложнее

Каждая точка имеет равные права на любой участок окружности. Каждая точка располагается, не оглядываясь на расположения других точек.

[ipgmvq]

TOTAL в сообщении #1546191 писал(а):

Каждая точка имеет равные права на любой участок окружности. Каждая точка располагается, не оглядываясь на расположения других точек.

Из этого следует, что длина дуги AB имеет равномерное распределение и никакое иное. Если бы оно имело иное распределение, то и вероятности были бы иными.