Доказательство теоремы об опорной гиперплоскости.

[ubertinderkid]

Добрый день! Прочитал доказательство теоремы об опорной гиперплоскости здесь: http://www.ifp.illinois.edu/~angelia/L7_separationthms.pdf.
Мне непонятные некоторые переходы в доказательстве, ниже напишу само доказательство для удобства.

Теорема об опорной гиперплоскости
Пусть $C \subseteq \mathbb{R}^n$ - непустое замкнутое выпуклое подмножество. Пусть

$$\exists x_0: \text{ либо } x_0 \in \partial C \text{ либо } x_0 \notin C$$

Тогда существует гиперплоскость, проходящая через точку $x_0$ и отделяющая множество $C$ в одно из полупространств, то есть $\exists a \in \mathbb{R}^n, a \neq 0 : \sup_{z \in C} a^Tz \le a^Tx_0$
Доказательство
Рассмотрим $\{x_k\} \nsubseteq C : x_k \rightarrow x.$ Пусть $z^*_k$ - проекция $x_k$ на множество $C$ для любого $k$. Рассмотрим последовательность

$$a_k = \frac{x_k -z^*_k}{||x_k - z^*_k||} \text{ for } k \ge 1.$$

Эта последовательность ограничена и поэтому имеет предел (пусть это будет $a \in \mathbb{R}^n.$ Пусть $\{a_{k_n}\}$ - подпоследовательность $\{a_k\} : \{a_{k_n}\} \rightarrow a.$ Так как $z^*_k$ - это проекция $x_k$ для каждого $k$, то по теореме о проекции (в гильбертовом пространстве в общем случае) следует, что

$$\forall k \text{ } (z^*_k - x_k)^T(z - z^*_k) \ge 0 \text{ } \forall z \in C$$

Значит, $\forall k$ верно следующее:

$$a^T_kz \le a^T_k z^*_k \text{ }\forall z \in C.$$

Так как

$$a^T_kz^*_k=a^T_k(z^*_k-x_k) + a^T_kx_k < a^T_kx_k \text{ } \forall k, $$

то имеем

$$a^T_kz < a^T_kx_k \text{ } \forall z \in C.$$

А так как $x_k \rightarrow x_0$ и $a_k \rightarrow a$, то $a^Tz \le a^Tx_0$ $\forall z \in C.$

Что мне непонятно в этом доказательстве:
1. Почему существует последовательность $\{x_k\}$?
2. Почему последовательность

$$a_k = \frac{x_k -z^*_k}{||x_k - z^*_k||} \text{ for } k \ge 1.$$

ограничена? Разве она не возрастающая?
3. Непонятно, почему из $\forall k \text{ } (z^*_k - x_k)^T(z - z^*_k) \ge 0 \text{ } \forall z \in C$ следует, что $a^T_kz \le a^T_k z^*_k \text{ }\forall z \in C.$

Возможно, это глупые вопросы, но я буду признателен за любые пояснения.

[artempalkin]

1) Я так понимаю, речь идет о нормированном линейном конечномерном пространстве. В нем можно построить последовательность, сходящуюся к любой точке (может быть, бывают какие-то экзотические исключения, но вряд ли о них речь)
2) А чему равна норма каждого $a_k$?
3) Учтите, что $z_k^*-x_k=-a_k$, раскройте скобки и перенесите

-- 13.01.2022, 20:37 --

ubertinderkid в сообщении #1546030 писал(а):

Эта последовательность ограничена и поэтому имеет предел

Последовательность ограничена, а значит имеет предел? Таких теорем нет. И дальше вы используете несколько иное утверждение.

[vpb]

По вопросу 1. Знакомы ли Вы с основными сведениями о топологии ${\mathbb R}^n$, т.е. знаете ли, что такое "открытое множество", "замкнутое множество", "граница множества", "предел последовательности" ? Следует сказать, что выпуклость тут ни при чем, т.е. верно такое утверждение: если $C$ --- замкнутое множество в ${\mathbb R}^n$, и $x_0\in\partial C$ --- точка на границе $C$, или $x\notin C$, то существует последовательность точек $\{x_k\}$ такая, что все $x_k\notin C$ и $x_k\longrightarrow x$.

[ubertinderkid]

artempalkin в сообщении #1546032 писал(а):

1) Я так понимаю, речь идет о нормированном линейном конечномерном пространстве. В нем можно построить последовательность, сходящуюся к любой точке (может быть, бывают какие-то экзотические исключения, но вряд ли о них речь)
2) А чему равна норма каждого $a_k$?
3) Учтите, что $z_k^*-x_k=-a_k$, раскройте скобки и перенесите

-- 13.01.2022, 20:37 --

ubertinderkid в сообщении #1546030 писал(а):

Эта последовательность ограничена и поэтому имеет предел

Последовательность ограничена, а значит имеет предел? Таких теорем нет. И дальше вы используете несколько иное утверждение.

Что касается фразы "последовательность ограничена, а значит имеет предел", то это прямой перевод оригинального доказательства - "This sequence is bounded and, therefore, it has a limit point, say $a \in \mathbb{R}^n$"

[vpb]

И да, разберитесь еще, чем "предел" отличается от "частичного предела" и "предельной точки". Можно это сделать по книжке Зорича, или Камынина, возможно (не факт) Фихтенгольца или Кудрявцева.

[ubertinderkid]

artempalkin, я так понимаю, используется теорема Больцано-Вейерштрасса.

[artempalkin]

ubertinderkid в сообщении #1546039 писал(а):

"This sequence is bounded and, therefore, it has a limit point, say $a \in \mathbb{R}^n$"

Вот-вот

ubertinderkid в сообщении #1546039 писал(а):

artempalkin, я так понимаю, используется теорема Больцано-Вейерштрасса.

А как конкретно она формулируется?

Возьмем последовательность $y_n=(-1)^n$. Она ограничена, но имеет ли она предел?

[ubertinderkid]

artempalkin в сообщении #1546043 писал(а):

ubertinderkid в сообщении #1546039 писал(а):

"This sequence is bounded and, therefore, it has a limit point, say $a \in \mathbb{R}^n$"

Вот-вот

ubertinderkid в сообщении #1546039 писал(а):

artempalkin, я так понимаю, используется теорема Больцано-Вейерштрасса.

А как конкретно она формулируется?

Возьмем последовательность $y_n=(-1)^n$. Она ограничена, но имеет ли она предел?

Частичные верхние и нижние да, обыкновенный предел - нет.

Что касается перевода, то "limit point" это предельная точка?

[Someone]

ubertinderkid в сообщении #1546046 писал(а):

Что касается перевода, то "limit point" это предельная точка?

Да, это предельная точка. Но не предел.

[artempalkin]

ubertinderkid
Терминология тут такая: предел либо есть, либо его нет. Не может ответом на вопрос "есть ли предел?" быть: есть частичный, но нет обыкновенного :) ну это строго говоря

[ubertinderkid]

artempalkin в сообщении #1546054 писал(а):

ubertinderkid
Терминология тут такая: предел либо есть, либо его нет. Не может ответом на вопрос "есть ли предел?" быть: есть частичный, но нет обыкновенного :) ну это строго говоря

Простите, но как же быть с тем же примером из Википедии? https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8

-- 13.01.2022, 23:16 --

Someone в сообщении #1546053 писал(а):

ubertinderkid в сообщении #1546046 писал(а):

Что касается перевода, то "limit point" это предельная точка?

Да, это предельная точка. Но не предел.

Спасибо за пояснение.

[artempalkin]

ubertinderkid
Я не спорю с вами. Надеюсь, вы понимаете о чем я. Я просто говорю о нюансах терминологии. Есть вопрос: есть ли предел последовательности $y_n=(-1)^n$, то ответ - предела нет. Если вы это понимаете, то мы говорим об одном и том же.
Вы никак не прокомментировали пункты 2 и 3, они вам понятны?

[ubertinderkid]

artempalkin в сообщении #1546060 писал(а):

ubertinderkid
Я не спорю с вами. Надеюсь, вы понимаете о чем я. Я просто говорю о нюансах терминологии. Есть вопрос: есть ли предел последовательности $y_n=(-1)^n$, то ответ - предела нет. Если вы это понимаете, то мы говорим об одном и том же.
Вы никак не прокомментировали пункты 2 и 3, они вам понятны?

Что касается третьего пункта: куда пропала норма разности из знаменателя для $a_k$?
Также, мне всё ещё не ясно, как посчитать норму $ ||a_k|| $.

[mihaild]

ubertinderkid в сообщении #1546063 писал(а):

Также, мне всё ещё не ясно, как посчитать норму $ ||a_k|| $

А вы явно поставьте над выражением для $a_k$ норму и посчитайте, учитывая что в знаменателе скаляр.

[ubertinderkid]

mihaild в сообщении #1546064 писал(а):

ubertinderkid в сообщении #1546063 писал(а):

Также, мне всё ещё не ясно, как посчитать норму $ ||a_k|| $

А вы явно поставьте над выражением для $a_k$ норму и посчитайте, учитывая что в знаменателе скаляр.

$|| \frac{x_k - z^*_k}{|| x_k - z^*_k||} || = \frac{1}{||x_k - z^*_k||}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{k_i} - z^*_{k_i})^2}$, но мне неизвестен порядок отношения между $x_k$ и $z^*_k$