Аннулятор пространства ядер

[EminentVictorians]

Пусть $V$ - $n$-мерное векторное пространство над полем $k$. Множество $F(V, k)$ всех функций из $V$ в $k$ само является векторным пространством над $k$. В нем есть подпространство $V^*$ линейных форм, которое называется сопряженным пространством к пространству $V$. Пусть $M \subset V^*$ - какое-то подпространство сопряженного пространства. Оно состоит из линейных функций. Возьмем $\bigcap Ker f_i$ - пересечение ядер всех функций из $M$. Это будет подпространством $V$. Очевидно, любая функция $f \in M$ аннулирует $\bigcap Ker f_i$, т.е. $M \subset (\bigcap Ker f_i)^0$.

Я хотел бы понять, а не будет ли здесь строгого равенства $M = (\bigcap Ker f_i)^0$? Доказать не получается, и даже интуитивно нет никаких предпочтений ни к равенству, ни просто к включению.

[mihaild]

Раз пространство конечномерное - можно просто ввести на нём скалярное произведение (хоть покоординатно) и построить изоморфизм $V \leftrightarrow V^*$ по правилу $y^*(x) = (x, y)$. Как при этом будут соотноситься $M^*$ (подпространство $V$ - прообраз $M$ относительно нашего изоморфизма) и пересечение ядер?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1545908 писал(а):

построить изоморфизм $V \leftrightarrow V^*$ по правилу $y^*(x) = (x, y)$.

А можно на такие обозначения перейти: $I:V \to V^*$, $I(\vec x) = f_{\vec x}$, где $f_{\vec x}(\vec y) = (\vec x, \vec y)$? Я так то все вроде бы понял, просто уточняю на всякий случай и так мне поудобнее будет. (Стрелки я думаю можно дальше не писать)

Тогда ядро функции $f_{\vec x}$ - это вектора, ортогональные вектору $x$.

Рассмотрим далее все функции из $M$. Пересечение их ядер - это ортогональное дополнение тому подпространству пространства $V$, которое состоит из всех нижних индексов функций из $M$ (не знаю, как это по-русски написать). Т.е. $\bigcap Ker f_i = M^*^{\bot}$.

-- 11.01.2022, 23:39 --

А, ну а дальше все из размерностей тривиально вытекает. Такой план?

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1545916 писал(а):

А можно на такие обозначения перейти: $I:V \to V^*$, $I(\vec x) = f_{\vec x}$, где $f_{\vec x}(\vec y) = (\vec x, \vec y)$?

Это не очень хорошо, потому что нижний индекс у $f$ уже нумерует функции из $M$. В таких контекстах разумно обозначать как раз звездочкой: $I(x) = x^*$ (и разрешить ставить звездочку и над функциями, тогда получится $(x^*)^* = x$). Ну или если хочется с индексом, то хотя бы другую букву вместо $f$ взять) Стрелки в таких ситуациях действительно не нужны.

EminentVictorians в сообщении #1545916 писал(а):

Т.е. $\bigcap Ker f_i = M^*^{\bot}$.

Да, так. В принципе на этом из соображений размерности можно и остановиться.

[EminentVictorians]

mihaild, в очередной раз большое Вам спасибо! Все оказалось в принципе не так уж и сложно