Доброго времени суток!
Можно ли как-нибудь просто доказать, что для каждого

можно подобрать такое свое

, что будет верно неравенство
![$$A\left(x^{\alpha}-\left(\left(1+\frac{x}{2}\right)^\alpha-\left(1-\frac{x}{2}\right)^\alpha\right)\right)\geqslant x\ln\left(\frac{2}{x}\right), \qquad x \in [0,2].$$ $$A\left(x^{\alpha}-\left(\left(1+\frac{x}{2}\right)^\alpha-\left(1-\frac{x}{2}\right)^\alpha\right)\right)\geqslant x\ln\left(\frac{2}{x}\right), \qquad x \in [0,2].$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/1/f01e8e12b4fb310bee26a1ff39153f6082.png)
Мои попытки решения:
Переношу логарифм влево и беру первую производную:

Беру вторую производную:

Поскольку

, заключаем, что в некоторой окрестности справа от нуля

возрастает, а в некоторой окрестности слева от двойки

убывает, причем

Поэтому если показать, что у

лишь один нуль на

, то этого будет достаточно для доказательства требуемого неравенства. Чтобы показать, что у

лишь один нуль, достаточно показать, что

монотонна на

, для этого достаточно показать, что

.
Самое максимальное насколько я смог продвинуться в доказательстве этого, как кажется, несложного неравенства это та цепочка достаточных условий, которые я написал выше (

).