Диофантово уравнение $x^2+3=4y^3$

[Verkhovtsev]

Решить уравнение в целых числах:

$$x^2+3=4y^3.$$

Уравнение появилось как побочный продукт исследования хитрого диофантова уравнения

$$x^3-3xy^2-y^3=1.$$

Исследование выполнено профессионалами, не пытайтесь воспроизвести решение последнего уравнения в домашних условиях.

[nnosipov]

Verkhovtsev в сообщении #1545284 писал(а):

Исследование выполнено профессионалами, не пытайтесь воспроизвести решение последнего уравнения в домашних условиях.

Спасибо, мы в курсе. Это должно быть в книге Делоне, Фаддеев "Теория иррациональностей третьей степени". Типа исследование двучленных единиц в кубическом поле дискриминанта 81.

-- Чт янв 06, 2022 16:09:57 --

Verkhovtsev
Вы уверены, что умеете решать эту задачу (про уравнение $x^2+3=4y^3$)? В "Олимпиадный раздел" не принято помещать задачи, решением которых автор не располагает.

[Verkhovtsev]

nnosipov в сообщении #1545287 писал(а):

Вы уверены, что умеете решать эту задачу (про уравнение $x^2+3=4y^3$)?

Вполне. С помощью элементарного метода исследования диофантовых уравнений, описанного в [1]. Монструозное уравнение

Verkhovtsev в сообщении #1545284 писал(а):

$$x^3-3xy^2-y^3=1.$$

решалось многими классиками. В частности, про одно из таких решений господина Ljunggren профессор Морделл написал в своей книге [2; Глава 23. Теорема 8], что

L.J. Mordell писал(а):

“a simpler method of proof is obviously desirable.”

(Оффтоп)

Мне понравилось выражение "obviously desirable"

Я как раз копался в статьях по схожей тематике и обнаружил, что еще в 80-х пожелание профессора Морделла было исполнено, и был придуман искусный способ адаптировать элементарный метод из [1] для прямого применения к любым бинарным кубическим формам с положительным дискриминантом. Таким образом, исходное уравнение из стартового поста

Verkhovtsev в сообщении #1545284 писал(а):

$$x^2+3=4y^3.$$

может быть решено "малой кровью", элементарным образом. Вот я и решил предложить эту задачу на этом форуме, авось местные умельцы да расколют орешек)

[1] T. SKOLEM, The use of a p-adic method in the theory of diophantine equations, Soc. Math. Belg. 7 (1955), 83-95.
[2] L. J. MORDELL, “Diophantine Equations,” Academic Press, New York/London, 1969.

[nnosipov]

Verkhovtsev в сообщении #1545309 писал(а):

уравнение из стартового поста ... может быть решено "малой кровью", элементарным образом

Вот здесь оно решается: N. Tzanakis, The Diophantine Equation x3 - 3xy2 -y3 = 1 and Related Equations, JNT, 18, p. 192-205, 1984. Но назвать этот метод элементарным я бы не решился.

[Verkhovtsev]

nnosipov в сообщении #1545316 писал(а):

N. Tzanakis, The Diophantine Equation x3 - 3xy2 -y3 = 1 and Related Equations, JNT, 18, p. 192-205, 1984.

Замечательно! Это я и имел ввиду. Про элементарность метода - бог весть, остаемся в расширении $\mathbb Q(\xi),$ где

$$ \xi^3-3\xi+1=0,$$

не приходится лезть в $\mathbb Q(\xi, \xi^{1/2}),$ и то хорошо. Но ведь речь-то шла про

Verkhovtsev в сообщении #1545284 писал(а):

$$x^2+3=4y^3.$$

Кстати, тем, кто предпримет попытки самостоятельного решения, укажу, что это уравнение можно домножить до уравнения Морделла. По известной базе данных уравнений Морделла

E_-00048: r = 1   t = 1   #III =  1
          E(Q) = <(4, 4)>
          R =   0.5063673554
           4 integral points
            1. (4, 4) = 1 * (4, 4)
            2. (4, -4) = -(4, 4)
            3. (28, 148) = -2 * (4, 4)
            4. (28, -148) = -(28, 148),

можно найти все целочисленные решения. Их 4, как и указано. Обратите внимание, какую нетривиальность наводят эти решения на исходное уравнение. В частности, можно сразу быть уверенным, что традиционные методы типа спуска тут не сработают.

[nnosipov]

Verkhovtsev в сообщении #1545326 писал(а):

Но ведь речь-то шла про ...

В той статье оба уравнения решаются: сначала $x^2+3=4y^3$, а затем то, которое в заголовке.

[maxal]

Verkhovtsev в сообщении #1545326 писал(а):

По известной базе данных уравнений Морделла

Можно и самим вычислить, не копаясь в базах.