Как у В. А. Зорича получается это соотношение?

[Saprilonty]

В. А. Зорич, "Математический анализ", том I, глава II, параграф 2, пункт 4с. Позиционная система счисления.

Лемма. Если фиксировать число $q > 1$, то для любого положительного числа $x \in \mathbb{R}$ найдётся и притом единственное целое число $k \in \mathbb{Z}$ такое, что

$$q^{k-1} \leqslant x < q^k.$$

Фиксируем $q > 1$ и возьмём произвольное положительное число $x \in \mathbb{R}.$
По лемме найдём единственное число $p \in \mathbb{Z}$ такое, что

$$q^p \le x < q^{p+1}. (1)$$

По принципу Архимеда найдём единственное натуральное число $\alpha_p \in \mathbb{N}$ такое, что

$$\alpha_p q^p \le x < \alpha_p q^p + q^p. (2)$$

Учитывая (1), можно утверждать, что $\alpha_p \in \left\lbrace1, ..., q - 1\right\rbrace$.
Все дальнейшие шаги нашего построения будут повторять тот шаг, который мы сейчас сделаем, исходя из соотношения (2).
Из соотношения (2) и принципа Архимеда следует, что существует и притом единственное число $\alpha_{p-1} \in \left\lbrace0, 1, ..., q-1\right\rbrace$ такое, что

$$\alpha_p q^p + \alpha_{p-1} q^{p-1} \le x < \alpha_p q^p + \alpha_{p-1} q^{p-1} + q^{p-1}.(3)$$

Мой вопрос в том, каким таким образом из принципа Архимеда и (2) получилось (3)? Такое ощущение, что всё должно быть просто, но не получается у меня такое соотношение, и всё тут. Буду премного благодарен тому, кто поможет этот момент понять.

[mihaild]

Нужно показать, что:
1) существует единственное натуральное $\alpha_{p - 1}$, удовлетворяющее (3)
2) $\alpha_{p - 1} \geq 0$
3) $\alpha_{p - 1} \leq {q - 1}$
Что-нибудь из этого доказать можете?

[Saprilonty]

Ой! Кажется, получилось. Сформировав соотношение $\alpha_{p-1} \le \frac{x}{q^{p-1}} - \alpha_p q < \alpha_{p-1} +1}$, сразу увидел, что по принципу Архимеда как раз найдётся $\alpha_{p-1}$, притом целое и единственное. ... Целое. Ну, почти получилось. Осталось понять, как доказать, что оно больше или равно нулю. (Что оно меньше $q-1$ доказать я могу.)

-- 05.01.2022, 07:32 --

Что $\alpha_{p-1} \geqslant -1$ я, вроде как, тоже доказать могу. А вот неравенство минус единице как-то не идёт.

[Markus228]

(Оффтоп)

Я мало что понимаю в извращениях, но из того, что $[q^{k-1},q^k)$ без пробелов и пересечений полностью заполняет $(0, \infty)$ при $k \in Z$, утверждение очевидно

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Markus228 в сообщении #1545175 писал(а):

Я мало что понимаю в извращениях, но из того, что $[q^{k-1},q^k)$ без пробелов и пересечений полностью заполняет $(0, \infty)$ при $k \in Z$, утверждение очевидно

Насколько я понял, c этим у ТС затруднений нет. У него задача в другом: показать, что для $q > 1$ можно построить $q$-ичную систему счисления. imho

[xagiwo]

Saprilonty в сообщении #1545163 писал(а):

Что $\alpha_{p-1} \geqslant -1$ я, вроде как, тоже доказать могу

Как?

[Saprilonty]

xagiwo в сообщении #1545179 писал(а):

Saprilonty в сообщении #1545163 писал(а):

Что $\alpha_{p-1} \geqslant -1$ я, вроде как, тоже доказать могу

Как?

Вроде, оно и доказательства, считай, не требует:

$$\frac{x}{q^{p-1}} - \alpha_p q < \alpha_{p-1} + 1 \Leftrightarrow x - \alpha_p q^p < (\alpha_{p-1} + 1) q^{p-1}.$$

Так как из (2) $x-\alpha_p q^p \geqslant 0$, то, поскольку $\alpha_{p-1} \in \mathbb{Z}$, $\alpha_{p-1} \in \left\lbrace 0, 1, ..., q-1\right\rbrace$... Хе-хе-хе, пожалуй, сон человеку для здравомыслия всё же нужен, и бот без него ну совсем уж не продуктивен. Теперь всё понятно. Теперь всё получилось. Спасибо большое за наводку (Если мне не кажется, конечно, и всё правда доказано, если считать, что то, что $\alpha_{p-1} \le q-1$, я уже доказал.)