Производная недифференцируемой функции

[Stensen]

Всех с праздником НГ. Помогите разобраться. Найти $f'(0)$ если:

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} 2x^2+x^2\cos\frac{1}{9x},\,\,x\ne 0 \\ \\ 0, \,\,x=0 \\ \end{array} \right.$$

.
Правильно ли я понимаю, что :

$$f'(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} 4x+2x\cos\frac{1}{9x}+\frac{1}{9}\sin\frac{1}{9x},\,\,x\ne0 \\ \\ \lim\limits_{x\to 0} (4x+2x\cos\frac{1}{9x}+\frac{1}{9}\sin\frac{1}{9x})= \frac{1}{9} \lim\limits_{x\to 0} (\sin\frac{1}{9x})\,\, not \, exist\ \end{array} \right.$$

[Dan B-Yallay]

$(uv)' = u'v + v'u$

$$f'(x)=\lim\limits_{x\to 0} (4x+2x\cos\frac{1}{9x}+ \textcolor{blue}{x^2}\frac{1}{9}\sin\frac{1}{9x})\ \ldots$$

[Mikhail_K]

Stensen
Неправильно понимаете.
$f^\prime(0)$ не обязательно равно $\lim\limits_{x\to 0}f^\prime(x)$.
Здесь нужно искать $f^\prime(0)$ по определению производной.

Dan B-Yallay
Вы тоже всё перепутали. Никакого $x^2$ там не надо, не говоря уже о пределе.

[Stensen]

Dan B-Yallay в сообщении #1545098 писал(а):

$(uv)' = u'v + v'u$

$$f'(x)=\lim\limits_{x\to 0} (4x+2x\cos\frac{1}{9x}+ \textcolor{blue}{x^2}\frac{1}{9}\sin\frac{1}{9x})\ \ldots$$

Там же $\sin \frac{1}{9x}$ надо на $(\frac{1}{9x})'$ домножить.

Mikhail_K в сообщении #1545099 писал(а):

Stensen
Неправильно понимаете.
$f^\prime(0)$ не обязательно равно $\lim\limits_{x\to 0}f^\prime(x)$.
Здесь нужно искать $f^\prime(0)$ по определению производной.

Искал, попробую еще раз.

[Dan B-Yallay]

Mikhail_K в сообщении #1545099 писал(а):

Вы тоже всё перепутали. Никакого $x^2$ там не надо.

Ох.. посыпаю голову пеплом.
Производные считать разучился.

Stensen в сообщении #1545100 писал(а):

Там же $\sin \frac{1}{9x}$ надо на $(\frac{1}{9x})'$ домножить.

Вы правы.

[nnosipov]

Stensen в сообщении #1545100 писал(а):

Искал, попробую еще раз.

Че там искать, $f(x)$ бултыхается между $x^2$ и $2x^2$, так что ...

[svv]

Между $x^2$ и $3x^2$.
Красиво, кстати, бултыхается.

[nnosipov]

Таки да, есть такое дело.

[Stensen]

nnosipov в сообщении #1545103 писал(а):

Че там искать, $f(x)$ бултыхается между $x^2$ и $2x^2$, так что ...

Я поэтому и усомнился, что $f'(0)$ не существует. Вроде гладко "модулируется" функцией $\, x^2$.

Mikhail_K в сообщении #1545099 писал(а):

Stensen
Неправильно понимаете.
$f^\prime(0)$ не обязательно равно $\lim\limits_{x\to 0}f^\prime(x)$.
Здесь нужно искать $f^\prime(0)$ по определению производной.

По определению так получается. Т.к. $f(0)=0$, то: $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(0+ \Delta x) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x^2(2+\cos\frac{1}{9\Delta x})}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta x (2+\cos\frac{1}{9\Delta x})=0$.

Все ли верно?

[nnosipov]

Ответ не записан :)

[Stensen]

nnosipov в сообщении #1545108 писал(а):

Ответ не записан :)

Ответ:

$$f'(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} 4x+2x\cos\frac{1}{9x}+\frac{1}{9}\sin\frac{1}{9x},\,\,x\ne0 \\ \\ 0, \,\,x=0 \end{array} \right.$$

т.к. $y'(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(0+ \Delta x) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta x (2+\cos\frac{1}{9\Delta x})=0$

Вроде так?

[nnosipov]

Так. Но заработали дополнительный вопрос: является ли функция $f(x)$ непрерывно дифференцируемой в окрестности точки $x=0$?