Воздушный пузырь при вращении сосуда

[profilescit]

В закрытом длинном цилиндрическом сосуде, наполненном водой комнатной температуры, существует воздушный пузырек объемом $V$ при нормальном давлении. Контейнер медленно вращается вокруг своей центральной оси симметрии в установившемся состоянии, осторожно ускоряясь в состоянии невесомости, пока он не достигнет угловой скорости $\omega$, при которой он продолжает вращаться с той же постоянной скоростью. Какую форму теперь принимает воздушный пузырь? Приведите типичные размеры пузыря. Поверхностное натяжение воды $\sigma$.


Хочется сходу ответить что эллипсоид, из каких-то соображений симметрии, но хочу все наглядно доказать.

Вроде как понятно что мы должный выписать закон сохранения энергии, $4 \pi R^2 \sigma = \sigma S + U$ где $S$ это площадь пузырька а $U$ центробежная потенциальная энергия $U = - \int \frac{\omega^2 r^2 dm}{2}$ где $r$ это расстояние от оси вращения до точки в обьеме пузырька, интегрируем по всему обьему пузырька.

Получается что я пренебрег работой по расширению пузырька, пренебрег изменением температуры пузырька так как в установившемся режиме оно придет в равновесие с водой вокруг.

Подскажите, в правильном ли направлении я иду? Что делать дальше чтобы решить задачу?

[sergey zhukov]

profilescit
Думаю, нужно так подходить. Для начала выбрать форму пузырька. Не думаю, что эллипсоид - хорошее решение. Ближе будет цилиндр с двумя сферическими "крышками". К тому же так гораздо удобнее считать. У этой формы два параметра: диаметр и длина.

Есть три фактора, которые определяют равновесную форму пузырька: поверхностное натяжение, давление газа и потенциальная энергия жидкости в поле центробежной силы. При равновесной форме пузырька и малом от нее отклонении работа центробежной силы (над жидкостью, весом газа пренебрегаем) плюс работа сил давления плюс работа сил поверхностного натяжения равна нулю.

Такая работа совершается при изменении формы пузырька по любому из двух параметров этой формы. В равновесии эта работа должна быть нулевой при изменении формы пузырька по каждому из этих параметров независимо.

[realeugene]

Только не сохранения энергии, а её минимума. Если пренебречь изменением объёма, энергия пузырька будет складываться из отрицательной энергии отсутствия воды в полости в потенциальном поле центробежной силы и положительной энергии поверхностного натяжения, пропорциональной площади поверхности пузылька. Считая устойчивую форму телом вращения, можно записать эту энергию с ограничением на фиксированный объём пузырька и честно решить задачу вариационно. Получится ли там поверхность второго порядка? Может быть.

-- 04.01.2022, 18:08 --

Нет, там в интеграле для энергии центробежной силы появляется четвёртая степень радиуса, так что сомнительно, что там получится поверхность второго порядка. Действительно, при больших скоростях вращения скорее будет похоже на вытянутый цилидр с полусферическими шапочками на концах.

[amon]

profilescit в сообщении #1545077 писал(а):

Что делать дальше чтобы решить задачу?

Представим себе, что поверхностного натяжения нет вовсе. Тогда поверхность "пузыря" должна быть поверхностью постоянного давления. Если включить поверхностное натяжение, то возникнет Лапласовское давление, которое повысит энергию газа в "пузыре". Эту добавку хорошо бы минимизировать для бесконечно высокого сосуда. Дальше - сами.