Равна ли функция нулю, если равен нулю интеграл?

[Divergence]

Вопрос: Следует ли из равенства нулю свертки Лапласа двух функций для любого положительных значений верхнего предела равенство нулю одной из функций.

Точнее меня интересует следующее: Пусть выполняется условие
$ \int^t_0 K(t-\tau) f(\tau) d\tau = 0$ для всех $t>0$.
Следует ли из этого, что $f(t)=0$ для всех $t>0$.
Если это так, то как это доказать? Если это не так, то как это доказать? Или подскажите, пожалуйста, ссылки где это можно увидеть.

Если $K(t)=1$ для всех $t>0$, тогда условие имеет вид
$ \int^t_0 f(\tau) d\tau = 0$ для всех $t>0$.
В этом случае доказать, что $f(t)=0$ для всех $t>0$, легко - продифференцировав по t это условие и используя
$ \frac{d}{dt}\int^t_0 f(\tau) d\tau = f(t)$.

Вроде можно рассматривать условие
$ \int^t_0 F(t,\tau) = 0$ для всех $t>0$, где $ F(t,\tau) = K(t-\tau) f(\tau)$.
Однако, в общем случае имеем
$\frac{d}{dt}\int^t_0 K(t-\tau) f(\tau) d\tau = K(0) f(t)+ \int^t_0 K^{(1)}_t(t-\tau) f(\tau) d\tau ,$
что не позволяет доказать искомое утверждение старым методом.

[user14284]

Контрпример: $f$ равна 0 во всех точках, кроме одной.

[Divergence]

Интересен случай непрерывной функции или непрерывно дифференцируемой функции $f(x) \in C[0,\infty)$, $f(x) \in C^1[0,\infty)$.
Ядро $K(t) \in C(0,\infty)$ или $K(t)=t^{a} \, L(t)$, где $-1 < a < 0$, $L(t) \in C[0,\infty)$

[novichok2018]

В операционном исчислении есть теорема Титчмарша.

[Divergence]

Большое спасибо!
То, что нужно.

Иосида, К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.
Глава VI. Параграф 5. "Теорема Титчмарша" стр.233.