Принцип Дирихле

[Middle]

Требуется доказать:
X-бесконечно $\Longleftrightarrow$ Существует инъекция на множестве X, не являющееся сюръекцией

1) Пусть X-бесконечно, тогда определим функцию $f:X \to X$ следующим образом:

$f(x_i)=x_i, i<n $
$f(x_i)=x_{i+1}, i \geqslant n $

Понятно, что $f:X \to X$ не является сюръекцией, поскольку прообраза $x_n$ не существует и для каждого $x_i, i\ne n $ только один прообраз

2) Пусть существует такая функция $f:X \to X$, являющееся инъекцией и не являющееся сюръекцией, тогда, очевидно, что если $f:X \to X$-инъекция в ограниченном множестве, то она и сюръекция. Поскольку это противоречит условию, то X-бесконечно

[Geen]

Middle в сообщении #1544720 писал(а):

определим функцию $f:X \to X$ следующим образом

А как Вы определили $x_i$?

-- 30.12.2021, 23:50 --

Middle в сообщении #1544720 писал(а):

очевидно, что если $f:X \to X$-инъекция в ограниченном множестве, то она и сюръекция

Не очень понял, что такое "ограниченное множество", но почему бы не доказать "очевидное"?

[artempalkin]

Middle в сообщении #1544720 писал(а):

1) Пусть X-бесконечно, тогда определим функцию $f:X \to X$ следующим образом:

$f(x_i)=x_i, i<n $
$f(x_i)=x_{i+1}, i \geqslant n $

Хорошее дело, но верно только для счетного множества, а не все бесконечные множества счетны. В то же время в любом бесконечном множестве найдется счетное. Вот этим можно воспользоваться.

[mihaild]

Middle, как у вас определяется бесконечное множество?

[Middle]

Geen в сообщении #1544722 писал(а):

Middle в сообщении #1544720 писал(а):

определим функцию $f:X \to X$ следующим образом

А как Вы определили $x_i$?

Как элемент множества X

-- 30.12.2021, 23:50 --

Middle в сообщении #1544720 писал(а):

очевидно, что если $f:X \to X$-инъекция в ограниченном множестве, то она и сюръекция
Не очень понял, что такое "ограниченное множество", но почему бы не доказать "очевидное"?

Если X-конечно, и $f:X \to X$-инъекция, но не сюръекция, то для какого-то $x_i$ не существует прообраза. В этом случае, существует элемент $x_j$, который имеет, как минимум, два прообраза=>f-не инъекция.

-- 31.12.2021, 14:01 --

artempalkin в сообщении #1544723 писал(а):

Middle в сообщении #1544720 писал(а):

1) Пусть X-бесконечно, тогда определим функцию $f:X \to X$ следующим образом:

$f(x_i)=x_i, i<n $
$f(x_i)=x_{i+1}, i \geqslant n $

Хорошее дело, но верно только для счетного множества, а не все бесконечные множества счетны. В то же время в любом бесконечном множестве найдется счетное. Вот этим можно воспользоваться.

Пусть X-несчетное множество. Выделим в нем некоторое счетное множество $Y =\left\lbrace y_1, y_2,...,y_n,.... \right\rbrace $
Тогда доопределим функцию $f:X \to X$ следующим образом:

$f(y_i)=y_i, i<n $
$f(y_i)=y_{y+1}, i \geqslant n $
$f(x_i)=x_i, x_i \notin Y $

То есть функция переводит элементы $x \notin Y$ в самих себя, а элементы $y \in Y$ как было указано раннее

-- 31.12.2021, 14:03 --

mihaild в сообщении #1544727 писал(а):

Middle, как у вас определяется бесконечное множество?

Первоначально, как счетное

[mihaild]

Middle в сообщении #1544770 писал(а):

Как элемент множества X

Так нельзя - можно для конечного числа переменных сказать "пусть $x, y, z, a$ - элементы $X$", но с последовательностью это не проходит.

Middle в сообщении #1544770 писал(а):

Выделим в нем некоторое счетное множество $Y =\left\lbrace y_1, y_2,...,y_n,.... \right\rbrace $

А вот так можно, потому что для счетного множества есть биекция на натуральные числа, можно взять такую биекцию и сказать что $y_i$ - это прообраз $i$ относительно неё.
Ну и дальше функция уже правильная.
Только нужно знать, что в бесконечном множестве есть счетное подмножество. В зависимости от определения, это может быть либо определением, либо теоремой, либо вообще быть неправдой.

Middle в сообщении #1544770 писал(а):

Первоначально, как счетное

Это очень странно. Прямо так и написано: "бесконечное множество - синоним счетного"? Если да, то как определяется счетное множество?

[Middle]

mihaild в сообщении #1544778 писал(а):

Middle в сообщении #1544770 писал(а):

Первоначально, как счетное

Это очень странно. Прямо так и написано: "бесконечное множество - синоним счетного"? Если да, то как определяется счетное множество?

"Там" вообще не дано определения счетного/несчетного множества

[mihaild]

Middle в сообщении #1544793 писал(а):

"Там" вообще не дано определения счетного/несчетного множества

Ну вы откуда-то взяли утверждение

Middle в сообщении #1544720 писал(а):

X-бесконечно $\Longleftrightarrow$ Существует инъекция на множестве X, не являющееся сюръекцией

Прежде чем его доказывать, неплохо было бы разобраться, что оно значит, в частности определить используемые понятия.