Друзья, с наступающим новым годом!
Такая задачка:
Пусть
![$E\in[0;1]$ $E\in[0;1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/1/c71a84246aa9c8323259be9ccea0948982.png)
- измеримое множество такое что для любого интервала

:

,

. Докажите, что

(здесь под

подразумевается мера)
Доказательство: Для начала, понятно, что

.
Поскольку

измеримо, то

существует такое объединение конечного числа непересекающихся интервалов

, что

и

.
Тогда

, но

Итого

из чего следует, что

можно покрыть элементом кольца элементарных множеств сколь угодно малой меры, а значит

.
В чем я тут не уверен, так это вот в этом факте: "...

существует такое объединение конечного числа непересекающихся интервалов

, что

и

". Здесь я предполагаю

, но в оригинальном определении меры Лебега так не говорится. По факту для измеримых множеств можно найти такое элементарное множество

, что

, но совсем не обязательно

.