Задача на тепло

[Aron]

Здраствуйте! Есть задача с недавно прошедшего муниципального этапа, которая у меня не вышла.
Сама задача:
Один литр воды налили в электрочайник мощностью $2$ кВт и включили его. Сразу после того, как вода начинает интенсивно кипеть, чайник автоматически выключается, однако кипение продолжается ещё $15$с с постепенным уменьшением скорости выкипания воды. Ещё через $30$с (после полного прекращения кипения) температура воды в чайнике снижается на $1°C$.

Считая, что скорость выкипания воды после выключения чайника равномерно уменьшается до нулевого значения, определите среднюю температуру нагревательного элемента чайника в момент его выключения. Ответ выразите в градусах Цельсия, округлите до целого числа. Масса нагревательного элемента $200$ г, его удельная теплоёмкость $500$ Дж/(кг⋅°C), удельная теплоёмкость воды $4200$ Дж/(кг⋅°C). Считайте, что образовавшийся при кипении пар сразу же полностью покидает чайник, но полная масса выкипевшей воды намного меньше массы воды, налитой в чайник.

В общем, мои обозначения $C_e$ - удельная теплоемкость элемента, $m_e$ - масса элемента, $C_v$ - удельная теплоемкость воды, $m_v$ - масса воды, $t_1$ - первое время, равное $15$с, $t_2$ - второе, температуры обозначаю большими буквами $T$, $dT$ - изменение на $1°C$, $N_t$ - мощность теплопотерь, $T_e$ - температура элемента, которую надо найти.

Мои уравнения:
1) $N_t t_1 = C_e m_e (T_e - T_1)$ До $T_1$ охладился элемент в первый раз.
2) $N_t t_2 = C_e m_e (T_1 - T_2) + C_v m_v dT$ До $T_2$ охладился элемент во второй раз.
Я предполагаю, что можно считать "мощность" охлаждения элемента примерно одинаковой, так как испарилась очень малая масса, а температура воды примерно равно $100°C$ всегда.
Тогда дополнительное уравнение:
3) $T_1 = \frac{t_2 T_e + t_1 T_2}{t_1 + t_2}$


Очевидно, что система уравнений неверна, так как решив ее можно получить $0 \ne 0$.


Прошу объяснить, где я ошибся и как же все-таки это решать, так как у меня не получается. Спасибо!

[Aron]

Я предполагаю, что ошибка в третьем утверждении, но как тогда составить еще одно уравнение, мне непонятно.

[sergey zhukov]

Aron
Тут по сути сказано, что нагревательный элемент в течение 15 сек отдает линейно уменьшающуюся с 2 кВт до нуля тепловую мощность ( т.е. в среднем 1 кВт), после чего его температура становится равной 100 $C$. Отсюда находится его начальная температура в первом приближении.

Во втором приближении нужно учесть, что энергия нагревателя после выключения расходуется как на кипение (эта мощность линейно падает), так и на теплопотери (эта мощность остается постоянной и она вычисляется из этого 1 $C$). Это происходит параллельно. Отсюда можно вычислить исходную температуру нагревателя во втором приближении.

[kzv]

Теплоемкость элемента в 8 раз меньше теплоемкости воды, поэтому с большой точностью можно считать, что $T_1=100; T_2=99$ Третье уравнение не нужно. Правда непонятно тогда, зачем в условии дана мощность чайника?

[GraNiNi]

kzv в сообщении #1544607 писал(а):

Правда непонятно тогда, зачем в условии дана мощность чайника?

Постом выше sergey zhukov написал, для чего нужна мощность чайника.

Поясню для ТС: сразу складываете затраты тепла на испарение воды, как уже сказано, (15 КДж) и теплопотери (2,15 КДж) и делите эту сумму на теплоемкость нагревательного элемента - получаете искомую температуру.

[Coopera]

sergey zhukov в сообщении #1544602 писал(а):

Тут по сути сказано, что нагревательный элемент в течение 15 сек отдает линейно уменьшающуюся с 2 кВт до нуля тепловую мощность ( т.е. в среднем 1 кВт), после чего его температура становится равной 100 $C$.

Почему $2$ кВт отдавал элемент воде после момента выключения? Ведь мощность отдачи тепла от элемента к воде после отключения чайника мгновенно изменилась, а значит, мы не знаем ее из условия. Также почему $T_{1} = 100$? Условие прекращения выкипания воды означает, что $N_t = \alpha(T_{1} - 100)$, где $\alpha(T_{1} - 100)$ - мощность теплопередачи от элемента к воде по з-ну Ньютона-Рихмана, а значит, $T_{1} \ne 100$.

[GraNiNi]

Coopera в сообщении #1544633 писал(а):

Ведь мощность отдачи тепла от элемента к воде после отключения чайника мгновенно изменилась,

Не мгновенно, а постепенно - таково условие задачи.

Aron в сообщении #1544588 писал(а):

кипение продолжается ещё $15$с с постепенным уменьшением скорости выкипания воды.

[Coopera]

GraNiNi в сообщении #1544636 писал(а):

Не мгновенно, а постепенно - таково условие задачи.

Я имел в виду, что мощность от нагревателя к воде сразу после того, как чайник выключился, $\ne 2$ кВт. Однако sergey zhukov и Вы утверждаете, что начальная мощность будет $2$ кВт. Откуда следует Ваше утверждение?

[EUgeneUS]

Coopera в сообщении #1544641 писал(а):

Откуда следует Ваше утверждение?

Это следует из ненулевой теплоёмкости обогревателя.

[wrest]

Coopera в сообщении #1544633 писал(а):

Ведь мощность отдачи тепла от элемента к воде после отключения чайника мгновенно изменилась,

Мгновенно изменилась конвертация электроэнергии в тепловую, т.е. прекратился подвод мощности к ТЭНу, но поскольку он был нагрет выше 100 градусов, то продолжил отдавать тепло воде. Чтобы мгновенно прекратить передачу тепла от ТЭНа к воде, ТЭН должен мгновенно остыть до температуры воды.

[GraNiNi]

Coopera в сообщении #1544641 писал(а):

Однако sergey zhukov и Вы утверждаете, что начальная мощность будет $2$ кВт.

Вы путаете электрическую мощность, получаемую нагревателем из розетки и тепловую мощность, отдаваемую нагревателем воде.

В состоянии теплового равновесия поступающие в нагреватель 2 КВт электрической мощности нагревают его до некоторой температуры, а далее нагретый нагреватель отдает эти 2 КВт контактирующей с ним воде.
После выключения чайника, электрическая мощность сразу (мгновенно) перестает поступать в нагреватель, но нагретый нагреватель продолжает отдавать запасенную мощность воде и эта мощность падает начиная с 2 КВт.

Следует отметить, что в действительности падение тепловой мощности происходит по экспоненте, но в целях упрощения, в задаче, мощность падает линейно.

[Coopera]

GraNiNi в сообщении #1544651 писал(а):

После выключения чайника, электрическая мощность сразу (мгновенно) перестает поступать в нагреватель, но нагретый нагреватель продолжает отдавать запасенную мощность воде и эта мощность падает начиная с 2 КВт.

Почему же она падает начиная с $2$ кВт? До момента выключения чайника $N_{нагр1} = P - N_{t}$, где $N_{нагр1}$ - мощность нагрева воды до выключения чайника, $P = 2$ кВт - мощность тока. После выключения чайника, почти в тот же момент, осталась только $N_{нагр2} = \alpha(T_{e} - 100) - N_{t}$, где $N_{2}$ - мощность нагрева воды после выключения чайника, $\alpha(T_{e} - 100)$ - передача тепла от нагревателя воде по з-ну Ньютона-Рихмана. Почему же по-Вашему $\alpha(T_{e} - 100) = P = 2$ кВт?

[GraNiNi]

Coopera в сообщении #1544655 писал(а):

Почему же она падает начиная с $2$ кВт?

Предположим, что при тепловом равновесии эл ток в 2 КВт нагревает нагреватель до равновесной (средней) температуры в 200 градусов.
После отключения электричества нагреватель имеет температуру в 200 градусов и начинает остывать с этой температуры.
Согласны?

[Coopera]

GraNiNi Согласен, но что дальше?

[sergey zhukov]

Coopera
Так от чего же зависит мгновенная мощность, которую отдает нагреватель воде? От подачи электричества? Вовсе нет. Только от разницы температур между нагревателем и водой. Сразу после выключения электричества эта разница никак не изменилась. Значит, отдаваемая мощность тоже не изменилась. А была она перед выключением равной 2 кВт (мы это знаем потому, что в этот момент нагреватель уже не повышал свою температуру (его температура была уже постоянной), т.е. все 2 кВт электрической мощности уходили в воду). Поэтому, падение тепловой мощности начинается именно с 2 кВт.

Поэтому мощность теплоотдачи от ТЭНа к воде в момент выключения чайника никак не изменилась. Совершенно по той же причине, по которой скачком не может измениться температура тела. В моменты до и после выключения чайника она равна $N_{2} = 2 kWt = \alpha(T_{e} - 100) + N_{t}$ (только $+N_t$, т.е. тепло от ТЭНа уходит на теплоотачу в воду $+$ теплоотдачу в воздух).