Определенный интеграл

[Nurgali]

Подскажите, пожалуйста, как вычислить определенный интеграл (по частям не получилось)?

$$ \int_{0}^{\pi}\ln(a+b\cos x)dx $$

Ответ имеется в справочниках. Только вот как его получить?

[lel0lel]

Как вариант можно разложить в ряд, считая $b$ малым параметром.

[zykov]

Есть какие-то ограничения на $a$ и $b$?
Например если $a > 0$, то

$$\int_{0}^{\pi}\ln(a+b\cos x)\;dx = \int_{0}^{\pi}\left(\ln a + \ln(1+\frac{b}{a}\cos x)\right)\;dx = \pi \ln a + \int_{0}^{\pi}\ln(1+\frac{b}{a}\cos x)\;dx$$

Т.е. достаточно одного параметра $\frac{b}{a}$.

[Farest2]

Можно равенство

$$ \int_0^\pi \frac{dx}{a+b\cos x}=\frac{\pi}{\sqrt{a^2-b^2}} $$

проинтегрировать (т.е. подействовать $\int_b^a \bullet\,da$).

[zykov]

Например, если $0 \leq k < 1$, то рассмотрим функцию $f(k) = \int_0^{\pi} \ln(1+k \cos x) \; dx$.
Очевидно $f(0)=0$.
Тогда

$$g(k)=f'(k)=\int_0^{\pi} \frac{\cos x}{1+k \cos x} \; dx = \frac{\pi}{k} \left(1-\frac{1}{\sqrt{1-k^2}} \right)$$

Тогда

$$f(k) = \int_0^k g(t) \; dt = \pi \left( artanh (\sqrt{1-k^2})+\ln k - \ln 2\right)$$

Здесь $artanh(x)$ - ареатангенс (гиперболический арктангенс): $artanh(x) = \frac12 \ln \left( \frac{1+x}{1-x}\right)$.

[Lia]

zykov
Указания, данного Farest2, было достаточно. Предупреждение за полное решение учебной задачи.

Замечу, это систематическое нарушение.