Два вопроса:
1) Может ли открытое неограниченное множество иметь конечную меру?
2) Может ли замкнутое неограниченное множество иметь конечную меру?
1) Вроде бы да. Рассмотрим следующее множество: на отрезке
расположим (как угодно) интервал длины
, на отрезке
интервал длиной
, на отрезке
интервал длиной
и т.д.. и объединим получившиеся интервалы. Получившееся множество будет неограниченным, открытым (как объединение открытых), измеримым, и мера его будет равна
, то есть конечна.
2) Вот здесь вроде бы должен быть подвох, но, кажется, нет. Заменим в предыдущем решении интервалы отрезками. Такое множество, конечно же, также будет неограниченным и конечной меры. Но будет ли оно замкнутым? Неочевидно. Рассмотрим его дополнение до
. Это дополнение будет состоять из открытого луча и интервалов, то есть будет открытым. А значит исходное множество будет замкнутым.
В итоге на оба вопроса ответ "да". Правильно же?