Мера множества с особым свойством

[artempalkin]

Друзья, с наступающим новым годом!
Такая задачка:

Пусть $E\in[0;1]$ - измеримое множество такое что для любого интервала $\Delta$: $|E\cap \Delta|\leqslant\alpha |\Delta|$, $\alpha<1$. Докажите, что $|E|=0$

(здесь под $|*|$ подразумевается мера)

Доказательство: Для начала, понятно, что $|E\cap (\Delta_1\cup\ldots\cup\Delta_n)|<\alpha(|\Delta_1|+\ldots+|\Delta_n|)$.

Поскольку $E$ измеримо, то $\forall \varepsilon$ существует такое объединение конечного числа непересекающихся интервалов $B$, что $E\subset B$ и $|E\bigtriangleup B|=|B|-|E|<\varepsilon$.

Тогда $|E|>|B|-\varepsilon$, но $|E\cap B|=|E|\leqslant\alpha |B|$

Итого

$$|B|-\varepsilon<\alpha |B|$$

$$|B|<\frac {\varepsilon}{1-\alpha},$$

из чего следует, что $E$ можно покрыть элементом кольца элементарных множеств сколь угодно малой меры, а значит $|E|=0$.

В чем я тут не уверен, так это вот в этом факте: "...$\forall \varepsilon$ существует такое объединение конечного числа непересекающихся интервалов $B$, что $E\subset B$ и $|E\bigtriangleup B|=|B|-|E|<\varepsilon$". Здесь я предполагаю $E\subset B$, но в оригинальном определении меры Лебега так не говорится. По факту для измеримых множеств можно найти такое элементарное множество $B$, что $|E\bigtriangleup B|<\varepsilon$, но совсем не обязательно $E\subset B$.

[demolishka]

artempalkin в сообщении #1544471 писал(а):

конечного числа

Вам конечное не нужно. Обойдитесь счетным. То, что меру можно считать, приближая сверху открытыми множествами, называется регулярностью меры Лебега (можно приближать еще и снизу, но компактными):

$$\lambda(E) = \inf\{ \lambda(U) \ | \ E \subset U \text{ - открытое} \}.$$

Более практичное равносильное утверждение состоит в отрицании утверждения задачи: если $\lambda(E)>0$, то для всякого $\varepsilon>0$ найдется промежуток $I$ такой, что $\frac{\lambda(E \cap I)}{\lambda(I)} > 1 - \varepsilon$. Из него можно много чего интересного вывести.

[artempalkin]

demolishka
а эта регулярность как доказывается (в плане идеи)? в этом разделе функана так много утверждений и все так похожи друг на друга, что я несколько запутался

[demolishka]

artempalkin в сообщении #1544697 писал(а):

регулярность как доказывается

Зависит от того, как у Вас вводилась мера Лебега.

[artempalkin]

demolishka в сообщении #1544705 писал(а):

Зависит от того, как у Вас вводилась мера Лебега.

Мера Лебега у меня вводилась по Колмогорову, то есть как ТНГ суммарных мер всех возможных покрытий конечными или счетными системами из полукольца множеств, на которых задана исходная мера.

[demolishka]

artempalkin в сообщении #1544708 писал(а):

из полукольца множеств

Ну вот. Значит надо показать, что в подсчете меры через нижнюю грань по покрытиям сверху элементами полукольца и через покрытия сверху открытыми множествами получится одно и то же. Это некоторое упражнение. Для прямой оно наверное чуть проще, чем для $n$-мерного случая.